Comment utiliser les propriétés élémentaires d'une probabilité (union, complémentaire, monotonie) ? | MetMat

Comment utiliser les propriétés élémentaires d'une probabilité (union, complémentaire, monotonie) ?

En appliquant les formules du complémentaire, d'union et de monotonie issues de la σ-additivité

Calculer la probabilité d'un événement exprimé comme union, complémentaire ou en relation d'inclusion avec d'autres événements.

L'objectif

Calculer la probabilité d'un événement exprimé comme union, complémentaire ou en relation d'inclusion avec d'autres événements.

Le principe

Toute probabilité $P$ vérifie, en plus de $P(\Omega)=1$ et la $\sigma$ -additivité, les propriétés : $P(A^c) = 1 - P(A)$ , $P(A\cup B) = P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ , $P(A) \leq P(B)$ si $A \subset B$ . Ces outils permettent de ramener les calculs à des événements plus simples.

La méthode

1
Identifier la forme de l'événement : complémentaire ( $A^c$ ), union ( $A\cup B$ ), ou inclusion ( $A\subset B$ ). Décomposer si nécessaire en événements disjoints.
2
Pour un complémentaire, appliquer $P(A^c) = 1 - P(A)$ . Cette formule est souvent plus simple que le calcul direct de $P(A^c)$ .
3
Pour une union non disjointe, appliquer $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)$ . Si $A$ et $B$ sont disjoints, on a simplement $P(A\cup B) = P(A)+P(B)$ .
4
Pour vérifier une relation de type $P(A) \leq P(B)$ , utiliser la monotonie : il suffit de montrer $A \subset B$ . Écrire $B = A \cup (B\setminus A)$ (union disjointe) pour obtenir $P(B) = P(A) + P(B\setminus A) \geq P(A)$ .

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Application guidée 1

On sait que $P(A) = 0{,}6$ et $P(B) = 0{,}5$ avec $P(A\cap B) = 0{,}2$ . Calculer $P(A^c)$ , $P(A\cup B)$ et vérifier que $P(A\cap B) \leq P(A)$ .

Application guidée 2

On lance deux dés équilibrés. Soit $A$ = « le premier dé donne 6 » et $B$ = « la somme vaut 7 ». Calculer $P(A\cup B)$ .

Application autonome 1

Le chevalier de Méré parie sur l'apparition d'au moins un 6 en lançant un dé 4 fois. Calculer la probabilité de gagner en utilisant le complémentaire.

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