En vérifiant les trois axiomes (A1), (A2), (A3) de la définition d'une tribu

Vérifier rigoureusement qu'une famille $\mathcal{A}$ de parties de $\Omega$ satisfait les trois axiomes d'une tribu.

L'objectif

Vérifier rigoureusement qu'une famille $\mathcal{A}$ de parties de $\Omega$ satisfait les trois axiomes d'une tribu.

Le principe

Une tribu (ou $\sigma$ -algèbre) sur $\Omega$ est une famille $\mathcal{A} \subset \mathcal{P}(\Omega)$ vérifiant : (A1) $\Omega \in \mathcal{A}$ , (A2) stabilité par complémentaire ( $A \in \mathcal{A} \Rightarrow A^c \in \mathcal{A}$ ), (A3) stabilité par réunion dénombrable. Ces trois propriétés garantissent que $\mathcal{A}$ est un cadre cohérent pour y définir une probabilité.

La méthode

1
Vérifier (A1) : montrer que $\Omega \in \mathcal{A}$ . (Cela implique aussi $\emptyset = \Omega^c \in \mathcal{A}$ grâce à (A2).)
2
Vérifier (A2) : pour tout $A \in \mathcal{A}$ , montrer que $A^c \in \mathcal{A}$ (stabilité par passage au complémentaire).
3
Vérifier (A3) : pour toute suite $(A_n)_{n \in \mathbb{N}}$ d'éléments de $\mathcal{A}$ , montrer que $\bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n \in \mathcal{A}$ (stabilité par réunion dénombrable).
4
En déduire les propriétés supplémentaires : $\mathcal{A}$ est stable par intersection dénombrable (via (A2) et (A3), en utilisant les lois de De Morgan : $\bigcap_n A_n = \left(\bigcup_n A_n^c\right)^c$ ).

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Application guidée 1

Montrer que $\mathcal{A} = \{\emptyset, \Omega\}$ est une tribu sur $\Omega$ (tribu grossière).

Application guidée 2

Soit $\Omega = \{1,2,3,4\}$ . Montrer que $\mathcal{A} = \{\emptyset, \{1,2\}, \{3,4\}, \Omega\}$ est une tribu.

Application autonome 1

Montrer que $\mathcal{P}(\Omega)$ (l'ensemble de toutes les parties de $\Omega$ ) est une tribu sur $\Omega$ .

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