Comment vérifier si des événements sont indépendants ? | MetMat

Comment vérifier si des événements sont indépendants ?

En vérifiant que $P(A_i \cap A_j) = P(A_i)P(A_j)$ pour toutes les sous-familles finies

Vérifier si deux événements (ou une famille) sont indépendants en testant la factorisation $P(A\cap B) = P(A)P(B)$ .

L'objectif

Vérifier si deux événements (ou une famille) sont indépendants en testant la factorisation $P(A\cap B) = P(A)P(B)$ .

Le principe

Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants si et seulement si $P(A\cap B) = P(A)P(B)$ . Pour une suite $(A_n)_n$ , l'indépendance requiert $P(A_{i_1}\cap\cdots\cap A_{i_k}) = P(A_{i_1})\cdots P(A_{i_k})$ pour toute sous-famille finie. Attention : l'indépendance deux à deux n'implique pas l'indépendance mutuelle.

La méthode

1
Calculer $P(A)$ , $P(B)$ et $P(A\cap B)$ séparément.
2
Vérifier si $P(A\cap B) = P(A)\cdot P(B)$ . Si oui : $A$ et $B$ sont indépendants ; si non : ils sont dépendants.
3
Pour une famille $(A_1, \ldots, A_n)$ , vérifier la condition pour TOUTES les sous-familles finies $\{A_{i_1}, \ldots, A_{i_k}\}$ (pas seulement les paires) : $P(A_{i_1}\cap\cdots\cap A_{i_k}) = \prod_j P(A_{i_j})$ .
4
Si $A$ et $B$ sont indépendants, conclure que $A^c$ et $B$ , $A$ et $B^c$ , $A^c$ et $B^c$ sont aussi indépendants (Proposition 1.28).

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

On tire une carte au hasard dans un jeu de 52. $A$ = « la carte est une dame », $B$ = « la carte est un cœur ». Vérifier l'indépendance de $A$ et $B$ .

Étape 1 —

Calculer

P(A)

P(B)

P(A\cap B)

séparément.

$P(A) = 4/52 = 1/13$ (4 dames), $P(B) = 13/52 = 1/4$ (13 cœurs), $P(A\cap B) = 1/52$ (dame de cœur).

Étape 2 —

Vérifier si

P(A\cap B) = P(A)\cdot P(B)

. Si oui :

A

B

sont indépendants ; si non : ils sont dépendants.

$P(A)P(B) = (1/13)(1/4) = 1/52 = P(A\cap B)$ ✓ : $A$ et $B$ sont indépendants.

Étape 3 —

Pour une famille

(A_1, \ldots, A_n)

, vérifier la condition pour TOUTES les sous-familles finies

\{A_{i_1}, \ldots, A_{i_k}\}

(pas seulement les paires) :

P(A_{i_1}\cap\cdots\cap A_{i_k}) = \prod_j P(A_{i_j})

Il s'agit de deux événements seulement, pas besoin de vérifier des sous-familles.

Étape 4 —

A

B

sont indépendants, conclure que

A^c

B

A

B^c

A^c

B^c

sont aussi indépendants (Proposition 1.28).

Conséquence : $A^c$ (non dame) et $B$ (cœur) sont aussi indépendants ; de même pour $A$ et $B^c$ , $A^c$ et $B^c$ .

$A$ et $B$ sont indépendants pour la loi uniforme sur un jeu de 52 cartes.

Application guidée

Soit $\Omega = \{\omega_1,\omega_2,\omega_3,\omega_4\}$ muni de la loi uniforme. $A=\{\omega_1,\omega_2\}$ , $B=\{\omega_1,\omega_3\}$ , $C=\{\omega_2,\omega_3\}$ . Montrer que $A$ , $B$ , $C$ sont indépendants deux à deux mais pas mutuellement.

Application autonome 1

On lance 3 fois un dé équilibré. Soit $A_i$ = « obtenir 6 au $i$ -ème lancer ». Montrer que $A_1, A_2, A_3$ sont mutuellement indépendants.

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En vérifiant que P(Ai∩Aj)=P(Ai)P(Aj)P(A_i \cap A_j) = P(A_i)P(A_j)P(Ai​∩Aj​)=P(Ai​)P(Aj​) pour toutes les sous-familles finies

Pour comprendre, fais des exercices !

En vérifiant que $P(A_i \cap A_j) = P(A_i)P(A_j)$ pour toutes les sous-familles finies