Comment appliquer la formule des probabilités totales ? | MetMat

Comment appliquer la formule des probabilités totales ?

En construisant une partition de $\Omega$ et en sommant les probabilités conditionnelles

Calculer $P(A)$ lorsque la probabilité directe est inconnue mais que $P(A|B_i)$ et $P(B_i)$ sont accessibles pour chaque élément $B_i$ d'une partition de $\Omega$ .

L'objectif

Calculer $P(A)$ lorsque la probabilité directe est inconnue mais que $P(A|B_i)$ et $P(B_i)$ sont accessibles pour chaque élément $B_i$ d'une partition de $\Omega$ .

Le principe

La formule des probabilités totales (Proposition 1.23) : si $(B_i)_{i\in I}$ est une partition finie ou dénombrable de $\Omega$ avec $P(B_i)>0$ pour tout $i$ , alors $P(A) = \sum_{i\in I} P(A|B_i)P(B_i)$ . Elle formalise la décomposition $A = \bigcup_i (A\cap B_i)$ en réunion disjointe.

La méthode

1
Identifier une partition $(B_i)_{i\in I}$ de $\Omega$ (événements deux à deux disjoints dont la réunion est $\Omega$ ) avec $P(B_i) > 0$ pour tout $i$ .
2
Calculer $P(B_i)$ pour chaque $i$ (probabilités a priori).
3
Calculer $P(A|B_i)$ pour chaque $i$ (probabilités conditionnelles de $A$ sachant chaque $B_i$ ).
4
Appliquer $P(A) = \sum_{i\in I} P(A|B_i)\,P(B_i)$ et vérifier que la somme est dans $[0,1]$ .

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Exercice d'exemple

Une urne contient 3 boules rouges et 2 boules bleues. On tire une boule, on note sa couleur, on la remet, et si elle était rouge on ajoute une boule rouge. On tire une 2ème boule. Quelle est la probabilité que la 2ème boule soit rouge ?

Étape 1 —

Identifier une partition

(B_i)_{i\in I}

\Omega

(événements deux à deux disjoints dont la réunion est

\Omega

) avec

P(B_i) > 0

pour tout

i

Partition : $B_R$ = « 1ère boule rouge », $B_B$ = « 1ère boule bleue ». $B_R \cup B_B = \Omega$ , $B_R \cap B_B = \emptyset$ ✓.

Étape 2 —

Calculer

P(B_i)

pour chaque

i

(probabilités a priori).

$P(B_R) = 3/5$ , $P(B_B) = 2/5$ .

Étape 3 —

Calculer

P(A|B_i)

pour chaque

i

(probabilités conditionnelles de

A

sachant chaque

B_i

Si $B_R$ : urne = 4R+2B, $P(A|B_R) = 4/6 = 2/3$ . Si $B_B$ : urne = 3R+2B, $P(A|B_B) = 3/5$ .

Étape 4 —

Appliquer

P(A) = \sum_{i\in I} P(A|B_i)\,P(B_i)

et vérifier que la somme est dans

[0,1]

$P(A) = (2/3)(3/5) + (3/5)(2/5) = 2/5 + 6/25 = 10/25 + 6/25 = 16/25$ .

$P(\text{2ème rouge}) = 16/25$ .

Application guidée

Un gérant de portefeuille est bien informé avec probabilité $1/10$ et mal informé avec probabilité $9/10$ . Si bien informé, la valeur monte avec probabilité $0{,}8$ ; si mal informé, elle monte avec probabilité $0{,}4$ . Calculer la probabilité que la valeur monte.

Application autonome 1

Un test de dépistage d'une maladie a une sensibilité de $0{,}99$ et une spécificité de $0{,}999$ . La prévalence de la maladie est $10^{-4}$ . Calculer la probabilité qu'un test soit positif.

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En construisant une partition de Ω\OmegaΩ et en sommant les probabilités conditionnelles

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