En décomposant $P(A_1\cap\cdots\cap A_n)$ en produit de probabilités conditionnelles successives

Calculer la probabilité de l'intersection $A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n$ en décomposant par conditionnements successifs.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

On tire 3 cartes sans remise d'un jeu de 52. Calculer la probabilité que les 3 cartes soient des cœurs.

L'objectif

Calculer la probabilité de l'intersection $A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n$ en décomposant par conditionnements successifs.

Le principe

La formule des probabilités composées (Proposition 1.22) : si $P(A_1\cap\cdots\cap A_{n-1}) > 0$ , alors $P(A_1\cap\cdots\cap A_n) = P(A_1)\,P(A_2|A_1)\,P(A_3|A_1\cap A_2)\cdots P(A_n|A_1\cap\cdots\cap A_{n-1})$ . Elle est utile quand les probabilités conditionnelles successives sont faciles à calculer.

La méthode

1
Identifier les événements $A_1, \ldots, A_n$ dont on veut calculer la probabilité de l'intersection.
2
Vérifier que $P(A_1\cap\cdots\cap A_{k}) > 0$ pour tout $k < n$ (condition d'application de la formule).
3
Calculer chaque facteur $P(A_k | A_1 \cap \cdots \cap A_{k-1})$ pour $k = 1, \ldots, n$ (avec $P(A_1)$ pour $k=1$ ).
4
Multiplier tous les facteurs : $P(A_1\cap\cdots\cap A_n) = \prod_{k=1}^n P(A_k | A_1\cap\cdots\cap A_{k-1})$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

On tire 3 cartes sans remise d'un jeu de 52. Calculer la probabilité que les 3 cartes soient des cœurs.

Étape 1 —

Identifier les événements

A_1, \ldots, A_n

dont on veut calculer la probabilité de l'intersection.

$A_1$ = « 1ère carte est cœur », $A_2$ = « 2ème carte est cœur », $A_3$ = « 3ème carte est cœur ».

Étape 2 —

Vérifier que

P(A_1\cap\cdots\cap A_{k}) > 0

pour tout

k < n

(condition d'application de la formule).

$P(A_1) = 13/52 > 0$ , $P(A_1 \cap A_2) = P(A_1)P(A_2|A_1) = (13/52)(12/51) > 0$ ✓.

Étape 3 —

Calculer chaque facteur

P(A_k | A_1 \cap \cdots \cap A_{k-1})

pour

k = 1, \ldots, n

(avec

P(A_1)

pour

k=1

$P(A_1) = 13/52$ , $P(A_2|A_1) = 12/51$ (11 cœurs restants sur 51 cartes), $P(A_3|A_1\cap A_2) = 11/50$ .

Étape 4 —

Multiplier tous les facteurs :

P(A_1\cap\cdots\cap A_n) = \prod_{k=1}^n P(A_k | A_1\cap\cdots\cap A_{k-1})

$P(A_1\cap A_2\cap A_3) = \frac{13}{52}\times\frac{12}{51}\times\frac{11}{50} = \frac{1716}{132600} = \frac{11}{850} \approx 0{,}0129$ .

$P(\text{3 cœurs}) = \dfrac{13\times12\times11}{52\times51\times50} = \dfrac{11}{850} \approx 0{,}013$ .

Application guidée

Une urne contient 3 boules rouges (R) et 2 boules bleues (B). On tire 2 boules sans remise. Calculer la probabilité que les deux boules soient rouges.

Application autonome 1

On effectue des lancers successifs d'une pièce de probabilité $p$ de Pile. Calculer la probabilité d'obtenir Pile aux 3 premiers lancers.

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En décomposant P(A1∩⋯∩An)P(A_1\cap\cdots\cap A_n)P(A1​∩⋯∩An​) en produit de probabilités conditionnelles successives

Pour comprendre, fais des exercices !

En décomposant $P(A_1\cap\cdots\cap A_n)$ en produit de probabilités conditionnelles successives