En abaissant depuis chaque sommet la perpendiculaire au côté opposé (ou à son prolongement pour un triangle obtusangle), en utilisant l'équerre

Tracer les trois hauteurs d'un triangle et repérer l'orthocentre.

L'objectif

Tracer les trois hauteurs d'un triangle et repérer l'orthocentre.

Le principe

La hauteur relative à un côté est la perpendiculaire abaissée depuis le sommet opposé sur ce côté (ou son prolongement) ; les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes.

La méthode

1
Choisir un côté (par exemple $[BC]$ ). Placer l'équerre avec l'angle droit en A de façon que l'un des côtés de l'équerre soit aligné avec $(BC)$ .
2
Tracer la droite passant par A perpendiculairement à $(BC)$ . Pour un triangle obtusangle en B ou C, prolonger d'abord le côté concerné pour pouvoir abaisser la perpendiculaire.
3
Nommer H le pied de la hauteur (intersection de la perpendiculaire avec $(BC)$ ou son prolongement). Le segment $[AH]$ est la hauteur issue de A.
4
Répéter pour les deux autres sommets B et C. Vérifier que les trois hauteurs se rencontrent en un même point H (l'orthocentre). Pour un triangle acutangle, l'orthocentre est à l'intérieur ; pour un triangle obtusangle, il est à l'extérieur.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Tracer les hauteurs du triangle acutangle ABC et repérer l'orthocentre.

Étape 1 —

Choisir un côté (par exemple

[BC]

). Placer l'équerre avec l'angle droit en A de façon que l'un des côtés de l'équerre soit aligné avec

(BC)

Placer l'équerre sur $[BC]$ depuis A et tracer la hauteur $h_a$ .

Étape 2 —

Tracer la droite passant par A perpendiculairement à

(BC)

. Pour un triangle obtusangle en B ou C, prolonger d'abord le côté concerné pour pouvoir abaisser la perpendiculaire.

Tracer la hauteur issue de B : perpendiculaire à $[AC]$ depuis B.

Étape 3 —

Nommer H le pied de la hauteur (intersection de la perpendiculaire avec

(BC)

ou son prolongement). Le segment

[AH]

est la hauteur issue de A.

Tracer la hauteur issue de C : perpendiculaire à $[AB]$ depuis C.

Étape 4 —

Répéter pour les deux autres sommets B et C. Vérifier que les trois hauteurs se rencontrent en un même point H (l'orthocentre). Pour un triangle acutangle, l'orthocentre est à l'intérieur ; pour un triangle obtusangle, il est à l'extérieur.

Les trois hauteurs se croisent en un point H intérieur au triangle : c'est l'orthocentre.

Les trois hauteurs du triangle acutangle se rencontrent en l'orthocentre H, situé à l'intérieur du triangle.

Application guidée

Tracer la hauteur issue de A dans le triangle rectangle en A avec $B(0,0)$ , $A(0,3)$ et $C(4,0)$ .

Application autonome 1

Tracer les hauteurs d'un triangle obtusangle en A. Où se trouve l'orthocentre ?

Application autonome 2

Dans le triangle équilatéral ABC de côté 6 cm, que peut-on dire des hauteurs ?

Application autonome 3

Calculer la longueur de la hauteur issue de A dans le triangle ABC avec $BC = 8$ cm et l'aire du triangle $= 20$ cm².

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