En abaissant depuis chaque sommet la perpendiculaire au côté opposé (ou à son prolongement pour un triangle obtusangle), en utilisant l'équerre

Tracer les trois hauteurs d'un triangle et repérer l'orthocentre.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Tracer les hauteurs du triangle acutangle ABC et repérer l'orthocentre.

L'objectif

Tracer les trois hauteurs d'un triangle et repérer l'orthocentre.

Le principe

La hauteur relative à un côté est la perpendiculaire abaissée depuis le sommet opposé sur ce côté (ou son prolongement) ; les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes.

La méthode

1
Choisir un côté (par exemple $[BC]$ ). Placer l'équerre avec l'angle droit en A de façon que l'un des côtés de l'équerre soit aligné avec $(BC)$ .
2
Tracer la droite passant par A perpendiculairement à $(BC)$ . Pour un triangle obtusangle en B ou C, prolonger d'abord le côté concerné pour pouvoir abaisser la perpendiculaire.
3
Nommer H le pied de la hauteur (intersection de la perpendiculaire avec $(BC)$ ou son prolongement). Le segment $[AH]$ est la hauteur issue de A.
4
Répéter pour les deux autres sommets B et C. Vérifier que les trois hauteurs se rencontrent en un même point H (l'orthocentre). Pour un triangle acutangle, l'orthocentre est à l'intérieur ; pour un triangle obtusangle, il est à l'extérieur.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Tracer les hauteurs du triangle acutangle ABC et repérer l'orthocentre.

Étape 1 —

Choisir un côté (par exemple

[BC]

). Placer l'équerre avec l'angle droit en A de façon que l'un des côtés de l'équerre soit aligné avec

(BC)

Placer l'équerre sur $[BC]$ depuis A et tracer la hauteur $h_a$ .

Étape 2 —

Tracer la droite passant par A perpendiculairement à

(BC)

. Pour un triangle obtusangle en B ou C, prolonger d'abord le côté concerné pour pouvoir abaisser la perpendiculaire.

Tracer la hauteur issue de B : perpendiculaire à $[AC]$ depuis B.

Étape 3 —

Nommer H le pied de la hauteur (intersection de la perpendiculaire avec

(BC)

ou son prolongement). Le segment

[AH]

est la hauteur issue de A.

Tracer la hauteur issue de C : perpendiculaire à $[AB]$ depuis C.

Étape 4 —

Répéter pour les deux autres sommets B et C. Vérifier que les trois hauteurs se rencontrent en un même point H (l'orthocentre). Pour un triangle acutangle, l'orthocentre est à l'intérieur ; pour un triangle obtusangle, il est à l'extérieur.

Les trois hauteurs se croisent en un point H intérieur au triangle : c'est l'orthocentre.

Les trois hauteurs du triangle acutangle se rencontrent en l'orthocentre H, situé à l'intérieur du triangle.

Application guidée

Tracer la hauteur issue de A dans le triangle rectangle en A avec $B(0,0)$ , $A(0,3)$ et $C(4,0)$ .

Application autonome 1

Tracer les hauteurs d'un triangle obtusangle en A. Où se trouve l'orthocentre ?

Application autonome 2

Dans le triangle équilatéral ABC de côté 6 cm, que peut-on dire des hauteurs ?

Application autonome 3

Calculer la longueur de la hauteur issue de A dans le triangle ABC avec $BC = 8$ cm et l'aire du triangle $= 20$ cm².

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