En choisissant la technique adaptée aux données fournies : LLL (trois côtés, compas), LAL (deux côtés et l'angle compris, règle + rapporteur), ALA (deux angles et le côté commun)

Construire un triangle en utilisant la méthode adaptée aux données disponibles (côtés et/ou angles).

L'objectif

Construire un triangle en utilisant la méthode adaptée aux données disponibles (côtés et/ou angles).

Le principe

Un triangle est déterminé de manière unique (à isométrie près) dès lors qu'on connaît trois éléments indépendants parmi ses côtés et angles (LLL, LAL ou ALA).

La méthode

1
Identifier les données disponibles et choisir la méthode : LLL si trois côtés connus, LAL si deux côtés et l'angle compris sont connus, ALA si deux angles et leur côté commun sont connus.
2
Tracer le premier élément de base : pour LLL et LAL, tracer le segment de base $[BC]$ ; pour ALA, tracer le segment $[BC]$ correspondant au côté commun des deux angles.
3
Construire les arcs ou angles depuis les extrémités : pour LLL, ouvrir le compas aux longueurs $AB$ et $AC$ et tracer des arcs depuis B et C ; pour LAL, tracer l'angle en B au rapporteur, reporter la longueur $AB$ ; pour ALA, tracer les deux angles en B et en C au rapporteur.
4
Identifier le point A à l'intersection des arcs ou des demi-droites tracées, puis relier les trois sommets pour obtenir le triangle.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Construire le triangle ABC avec $BC = 6$ cm, $AB = 5$ cm et $AC = 4$ cm (méthode LLL).

Étape 1 —

Identifier les données disponibles et choisir la méthode : LLL si trois côtés connus, LAL si deux côtés et l'angle compris sont connus, ALA si deux angles et leur côté commun sont connus.

Trois côtés connus : méthode LLL.

Étape 2 —

Tracer le premier élément de base : pour LLL et LAL, tracer le segment de base

[BC]

; pour ALA, tracer le segment

[BC]

correspondant au côté commun des deux angles.

Tracer le segment $[BC]$ de longueur $6$ cm.

Étape 3 —

Construire les arcs ou angles depuis les extrémités : pour LLL, ouvrir le compas aux longueurs

AB

AC

et tracer des arcs depuis B et C ; pour LAL, tracer l'angle en B au rapporteur, reporter la longueur

AB

; pour ALA, tracer les deux angles en B et en C au rapporteur.

Ouvrir le compas à $5$ cm depuis B pour tracer un arc, puis ouvrir à $4$ cm depuis C pour tracer un second arc. Les deux arcs se croisent en A.

Étape 4 —

Identifier le point A à l'intersection des arcs ou des demi-droites tracées, puis relier les trois sommets pour obtenir le triangle.

Tracer les segments $[BA]$ et $[CA]$ pour obtenir le triangle ABC.

Le triangle ABC de côtés $BC = 6$ cm, $AB = 5$ cm, $AC = 4$ cm est construit.

Application guidée

Construire le triangle ABC avec $BC = 5$ cm, $\widehat{B} = 50°$ et $AB = 7$ cm (méthode LAL).

Application autonome 1

Construire le triangle ABC avec $BC = 6$ cm, $\widehat{B} = 45°$ et $\widehat{C} = 65°$ (méthode ALA).

Application autonome 2

Peut-on construire un triangle avec $AB = 3$ cm, $BC = 7$ cm et $CA = 3$ cm ? Pourquoi ?

Application autonome 3

Construire un triangle isocèle ABC avec $BC = 4$ cm et $AB = AC = 6$ cm.

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