En cherchant un point O tel que chaque point de la figure a un symétrique dans la figure par rapport à O (la figure est invariante par demi-tour de centre O)

Déterminer si une figure admet un centre de symétrie et le localiser.

L'objectif

Déterminer si une figure admet un centre de symétrie et le localiser.

Le principe

Une figure admet $O$ comme centre de symétrie si et seulement si, pour chaque point $M$ de la figure, le symétrique de $M$ par rapport à $O$ appartient aussi à la figure.

La méthode

1
Chercher un candidat pour O : souvent le centre d'un polygone régulier, l'intersection des diagonales d'un parallélogramme, ou le milieu d'un segment.
2
Prendre plusieurs points caractéristiques de la figure (sommets, points sur les côtés) et construire leur symétrique par rapport au O candidat.
3
Vérifier que chaque symétrique obtenu appartient bien à la figure (coïncide avec un autre point ou une autre partie de la figure).
4
Si tous les symétriques appartiennent à la figure, conclure que O est un centre de symétrie. Sinon, la figure n'admet pas O comme centre de symétrie.

Pour comprendre, fais des exercices !

0/5 validés

Exercice d'exemple

Le rectangle $ABCD$ avec $A(0\,;\,0)$ , $B(4\,;\,0)$ , $C(4\,;\,2)$ , $D(0\,;\,2)$ admet-il un centre de symétrie ?

Étape 1 —

Chercher un candidat pour O : souvent le centre d'un polygone régulier, l'intersection des diagonales d'un parallélogramme, ou le milieu d'un segment.

Candidat naturel : le centre du rectangle, $O =$ milieu des diagonales $= \left(\frac{0+4}{2}\,;\,\frac{0+2}{2}\right) = (2\,;\,1)$ .

Étape 2 —

Prendre plusieurs points caractéristiques de la figure (sommets, points sur les côtés) et construire leur symétrique par rapport au O candidat.

Symétriques des sommets par rapport à $O(2\,;\,1)$ : $A' = (4\,;\,2) = C$ , $B' = (0\,;\,2) = D$ , $C' = (0\,;\,0) = A$ , $D' = (4\,;\,0) = B$ .

Étape 3 —

Vérifier que chaque symétrique obtenu appartient bien à la figure (coïncide avec un autre point ou une autre partie de la figure).

Chaque symétrique est un autre sommet du rectangle : les images appartiennent bien à la figure.

Étape 4 —

Si tous les symétriques appartiennent à la figure, conclure que O est un centre de symétrie. Sinon, la figure n'admet pas O comme centre de symétrie.

Donc le rectangle admet $O(2\,;\,1)$ comme centre de symétrie.

Oui, le rectangle admet $O(2\,;\,1)$ comme centre de symétrie.

Application guidée

Le triangle équilatéral $ABC$ avec $A(0\,;\,2)$ , $B(-\sqrt{3}\,;\,-1)$ , $C(\sqrt{3}\,;\,-1)$ admet-il un centre de symétrie ?

Application autonome 1

Le parallélogramme $ABCD$ avec $A(0\,;\,0)$ , $B(3\,;\,0)$ , $C(4\,;\,2)$ , $D(1\,;\,2)$ admet-il un centre de symétrie ?

Application autonome 2

Le segment $[AB]$ avec $A(1\,;\,3)$ et $B(5\,;\,1)$ admet-il un centre de symétrie ?

Application autonome 3

Un élève affirme que le carré $ABCD$ de centre $O$ est invariant par demi-tour de centre $O$ . Explique pourquoi il a raison.

Crée ton compte gratuit pour accéder à la fiche et aux exercices