En vérifiant l'une des propriétés caractéristiques : côtés opposés parallèles deux à deux, OU côtés opposés égaux deux à deux, OU diagonales se coupant en leur milieu

Identifier si un quadrilatère est un parallélogramme en utilisant une propriété caractéristique.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Le quadrilatère $ABCD$ a pour mesures : $AB = 5\,\mathrm{cm}$ , $BC = 3\,\mathrm{cm}$ , $CD = 5\,\mathrm{cm}$ , $DA = 3\,\mathrm{cm}$ . Est-ce un parallélogramme ?

[Graphique invalide]
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L'objectif

Identifier si un quadrilatère est un parallélogramme en utilisant une propriété caractéristique.

Le principe

Un quadrilatère est un parallélogramme si et seulement si : ses côtés opposés sont parallèles deux à deux, OU ses côtés opposés sont égaux deux à deux, OU ses diagonales se coupent en leur milieu.

La méthode

1
Identifier les données disponibles sur le quadrilatère (longueurs de côtés, parallélisme, position du point d'intersection des diagonales).
2
Choisir la propriété caractéristique adaptée aux données : côtés opposés parallèles, côtés opposés égaux, ou diagonales se coupant en leur milieu.
3
Vérifier que la propriété choisie est satisfaite pour les deux paires de côtés opposés (ou pour les deux diagonales).
4
Conclure : si la propriété est vérifiée, le quadrilatère est un parallélogramme ; sinon, il ne l'est pas.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Le quadrilatère $ABCD$ a pour mesures : $AB = 5\,\mathrm{cm}$ , $BC = 3\,\mathrm{cm}$ , $CD = 5\,\mathrm{cm}$ , $DA = 3\,\mathrm{cm}$ . Est-ce un parallélogramme ?

[Graphique invalide]
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Étape 1 —

Identifier les données disponibles sur le quadrilatère (longueurs de côtés, parallélisme, position du point d'intersection des diagonales).

On dispose des longueurs des quatre côtés : $AB = 5\,\mathrm{cm}$ , $BC = 3\,\mathrm{cm}$ , $CD = 5\,\mathrm{cm}$ , $DA = 3\,\mathrm{cm}$ .

Étape 2 —

Choisir la propriété caractéristique adaptée aux données : côtés opposés parallèles, côtés opposés égaux, ou diagonales se coupant en leur milieu.

On choisit la propriété : les côtés opposés sont égaux deux à deux.

Étape 3 —

Vérifier que la propriété choisie est satisfaite pour les deux paires de côtés opposés (ou pour les deux diagonales).

On vérifie : $AB = CD = 5\,\mathrm{cm}$ et $BC = DA = 3\,\mathrm{cm}$ . Les deux paires de côtés opposés sont bien égales.

Étape 4 —

Conclure : si la propriété est vérifiée, le quadrilatère est un parallélogramme ; sinon, il ne l'est pas.

Conclusion : $ABCD$ est un parallélogramme car ses côtés opposés sont égaux deux à deux.

$ABCD$ est un parallélogramme.

Application guidée

Les diagonales $[AC]$ et $[BD]$ d'un quadrilatère $ABCD$ se coupent en $O$ . On mesure $OA = 4\,\mathrm{cm}$ , $OC = 4\,\mathrm{cm}$ , $OB = 3\,\mathrm{cm}$ , $OD = 3\,\mathrm{cm}$ . Est-ce un parallélogramme ?

[Graphique invalide]
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Application autonome 1

Dans le quadrilatère $EFGH$ , on sait que $(EF) \parallel (HG)$ et $(EH) \parallel (FG)$ . Est-ce un parallélogramme ?

[Graphique invalide]
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Application autonome 2

Un quadrilatère $IJKL$ a $IJ = 6\,\mathrm{cm}$ , $JK = 4\,\mathrm{cm}$ , $KL = 6\,\mathrm{cm}$ , $LI = 5\,\mathrm{cm}$ . Est-ce un parallélogramme ?

[Graphique invalide]
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Application autonome 3

Les diagonales $[PR]$ et $[QS]$ d'un quadrilatère $PQRS$ se coupent en $O$ . On mesure $OP = 3\,\mathrm{cm}$ , $OR = 3\,\mathrm{cm}$ , $OQ = 5\,\mathrm{cm}$ , $OS = 4\,\mathrm{cm}$ . Est-ce un parallélogramme ?

[Graphique invalide]
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