Comment reconnaître ou construire un parallélogramme à l'aide d'une translation ? | MetMat

Comment reconnaître ou construire un parallélogramme à l'aide d'une translation ?

En vérifiant que deux côtés opposés sont images l'un de l'autre par la même translation (c'est-à-dire que le quadrilatère a des côtés opposés parallèles et de même longueur)

Reconnaître ou construire un parallélogramme en vérifiant que deux côtés opposés sont images l'un de l'autre par une translation.

L'objectif

Reconnaître ou construire un parallélogramme en vérifiant que deux côtés opposés sont images l'un de l'autre par une translation.

Le principe

$ABCD$ est un parallélogramme si et seulement si $[DC]$ est l'image de $[AB]$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{AD}$ (ou de manière équivalente, si $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ ).

La méthode

1
Calcule les composantes du vecteur $\overrightarrow{AB}$ (différence des coordonnées : $B - A$ ).
2
Calcule les composantes du vecteur $\overrightarrow{DC}$ (différence des coordonnées : $C - D$ ).
3
Compare les deux vecteurs : si $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ , alors les deux côtés opposés $[AB]$ et $[DC]$ sont images l'un de l'autre par la même translation.
4
Conclus : si $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ , alors $ABCD$ est un parallélogramme.

Pour comprendre, fais des exercices !

0/5 validés

Exercice d'exemple

Montrer que $ABCD$ est un parallélogramme avec $A(0 ; 0)$ , $B(3 ; 0)$ , $C(4 ; 2)$ , $D(1 ; 2)$ .

Étape 1 —

Calcule les composantes du vecteur

\overrightarrow{AB}

(différence des coordonnées :

B - A

$\overrightarrow{AB}$ a pour composantes $(3-0 ; 0-0) = (3 ; 0)$ .

Étape 2 —

Calcule les composantes du vecteur

\overrightarrow{DC}

(différence des coordonnées :

C - D

$\overrightarrow{DC}$ a pour composantes $(4-1 ; 2-2) = (3 ; 0)$ .

Étape 3 —

Compare les deux vecteurs : si

\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}

, alors les deux côtés opposés

[AB]

[DC]

sont images l'un de l'autre par la même translation.

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} = (3 ; 0)$ : $[DC]$ est l'image de $[AB]$ par la translation de vecteur $(3 ; 0)$ .

Étape 4 —

Conclus : si

\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}

, alors

ABCD

est un parallélogramme.

Donc $ABCD$ est un parallélogramme.

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} = (3 ; 0)$ , donc $ABCD$ est un parallélogramme.

Application guidée

Vérifier si $PQRS$ est un parallélogramme avec $P(1 ; 1)$ , $Q(4 ; 1)$ , $R(5 ; 3)$ , $S(2 ; 3)$ .

Application autonome 1

Vérifier si $EFGH$ est un parallélogramme avec $E(0 ; 0)$ , $F(3 ; 1)$ , $G(4 ; 4)$ , $H(1 ; 3)$ .

Application autonome 2

On a $A(0 ; 0)$ , $B(5 ; 0)$ et $D(1 ; 3)$ . Trouver $C$ tel que $ABCD$ soit un parallélogramme.

Application autonome 3

On a $A(1 ; 0)$ , $B(4 ; 1)$ , $C(3 ; 4)$ , $D(0 ; 3)$ . Vérifier que $ABCD$ est un parallélogramme en comparant les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{DC}$ , puis $\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{BC}$ .

Crée ton compte gratuit pour accéder à la fiche et aux exercices