Comment encadrer $\sqrt{a}$ entre deux entiers consécutifs ?

En trouvant les deux entiers $n$ et $n+1$ tels que $n^2 \leq a < (n+1)^2$ , puis en déduisant $n \leq \sqrt{a} < n+1$

L'objectif

Encadrer $\sqrt{a}$ entre deux entiers consécutifs $n$ et $n+1$ sans utiliser la calculatrice.

Le principe

Si $n^2 \leq a < (n+1)^2$ , alors en prenant la racine carrée (fonction croissante), on obtient $n \leq \sqrt{a} < n+1$ . Il suffit de trouver entre quels carrés parfaits consécutifs se situe $a$ .

La méthode

1
Parcours la liste des carrés parfaits : $1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, \ldots$ jusqu'à trouver le plus grand carré parfait $n^2$ qui reste inférieur ou égal à $a$ .
2
Vérifie que le carré parfait suivant $(n+1)^2$ est strictement supérieur à $a$ , c'est-à-dire que $n^2 \leq a < (n+1)^2$ .
3
Prends la racine carrée de chaque membre de l'inégalité : $\sqrt{n^2} \leq \sqrt{a} < \sqrt{(n+1)^2}$ , ce qui donne $n \leq \sqrt{a} < n+1$ .
4
Écris l'encadrement final : $n \leq \sqrt{a} < n+1$ , où $n$ et $n+1$ sont deux entiers consécutifs.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 5

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En trouvant les deux entiers nnn et n+1n+1n+1 tels que n2≤a<(n+1)2n^2 \leq a < (n+1)^2n2≤a<(n+1)2, puis en déduisant n≤a<n+1n \leq \sqrt{a} < n+1n≤a​<n+1

Exemple corrigé

En trouvant les deux entiers $n$ et $n+1$ tels que $n^2 \leq a < (n+1)^2$ , puis en déduisant $n \leq \sqrt{a} < n+1$