En décomposant numérateur et dénominateur en produit de facteurs premiers pour identifier directement tous les facteurs communs

Simplifier une fraction en une seule étape grâce à la décomposition en facteurs premiers du numérateur et du dénominateur.

L'objectif

Simplifier une fraction en une seule étape grâce à la décomposition en facteurs premiers du numérateur et du dénominateur.

Le principe

Tout entier se décompose de façon unique en produit de facteurs premiers. En écrivant le numérateur et le dénominateur sous cette forme, on repère immédiatement les facteurs communs à éliminer.

La méthode

1
Décompose le numérateur en produit de facteurs premiers (divise successivement par 2, 3, 5, 7…).
2
Décompose le dénominateur en produit de facteurs premiers de la même façon.
3
Réécris la fraction sous la forme $\frac{p_1 \times p_2 \times \cdots}{q_1 \times q_2 \times \cdots}$ et barre les facteurs identiques au numérateur et au dénominateur.
4
Multiplie les facteurs restants au numérateur et ceux restants au dénominateur pour obtenir la fraction irréductible.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Simplifie $\frac{12}{18}$ par décomposition en facteurs premiers.

Étape 1 —

Décompose le numérateur en produit de facteurs premiers (divise successivement par 2, 3, 5, 7…).

$12 = 2 \times 2 \times 3 = 2^2 \times 3$ .

Étape 2 —

Décompose le dénominateur en produit de facteurs premiers de la même façon.

$18 = 2 \times 3 \times 3 = 2 \times 3^2$ .

Étape 3 —

Réécris la fraction sous la forme

\frac{p_1 \times p_2 \times \cdots}{q_1 \times q_2 \times \cdots}

et barre les facteurs identiques au numérateur et au dénominateur.

$\frac{12}{18} = \frac{2^2 \times 3}{2 \times 3^2}$ ; on barre un facteur 2 et un facteur 3 en commun.

Étape 4 —

Multiplie les facteurs restants au numérateur et ceux restants au dénominateur pour obtenir la fraction irréductible.

Il reste $\frac{2}{3}$ .

$\frac{12}{18} = \frac{2}{3}$

Application guidée

Simplifie $\frac{30}{42}$ par décomposition en facteurs premiers.

Application autonome 1

Simplifie $\frac{60}{84}$ par décomposition en facteurs premiers.

Application autonome 2

Simplifie $\frac{126}{210}$ par décomposition en facteurs premiers.

Application autonome 3

Simplifie $\frac{360}{504}$ par décomposition en facteurs premiers.

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