En montrant que $ABDC$ est un parallélogramme (si $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ )

Montrer que deux vecteurs sont égaux en prouvant que les quatre points forment un parallélogramme.

L'objectif

Montrer que deux vecteurs sont égaux en prouvant que les quatre points forment un parallélogramme.

Le principe

Quatre points $A$ , $B$ , $D$ , $C$ forment un parallélogramme $ABDC$ (dans cet ordre) si et seulement si les diagonales $[AD]$ et $[BC]$ ont le même milieu. Dans ce cas, $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ .

La méthode

1
Identifier les quatre points : l'égalité $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ correspond au parallélogramme $ABDC$ (attention à l'ordre).
2
Calculer le milieu $I$ de la diagonale $[AD]$ : $I = \left(\frac{x_A + x_D}{2}\,;\,\frac{y_A + y_D}{2}\right)$ .
3
Calculer le milieu $J$ de la diagonale $[BC]$ : $J = \left(\frac{x_B + x_C}{2}\,;\,\frac{y_B + y_C}{2}\right)$ .
4
Si $I = J$ , conclure que $ABDC$ est un parallélogramme, donc $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

On donne $A(1\,;\,1)$ , $B(4\,;\,2)$ , $D(5\,;\,4)$ , $C(2\,;\,3)$ . Montrer que $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ .

Étape 1 —

Identifier les quatre points : l'égalité

\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}

correspond au parallélogramme

ABDC

(attention à l'ordre).

On cherche à montrer que $ABDC$ est un parallélogramme.

Étape 2 —

Calculer le milieu

I

de la diagonale

[AD]

I = \left(\frac{x_A + x_D}{2}\,;\,\frac{y_A + y_D}{2}\right)

Milieu de $[AD]$ : $I = \left(\frac{1+5}{2}\,;\,\frac{1+4}{2}\right) = \left(3\,;\,\frac{5}{2}\right)$ .

Étape 3 —

Calculer le milieu

J

de la diagonale

[BC]

J = \left(\frac{x_B + x_C}{2}\,;\,\frac{y_B + y_C}{2}\right)

Milieu de $[BC]$ : $J = \left(\frac{4+2}{2}\,;\,\frac{2+3}{2}\right) = \left(3\,;\,\frac{5}{2}\right)$ .

Étape 4 —

I = J

, conclure que

ABDC

est un parallélogramme, donc

\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}

$I = J$ , donc $ABDC$ est un parallélogramme, ce qui prouve que $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ .

$ABDC$ est un parallélogramme (les diagonales ont le même milieu $\left(3\,;\,\frac{5}{2}\right)$ ), donc $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ .

Application guidée

On donne $A(0\,;\,0)$ , $B(3\,;\,1)$ , $D(4\,;\,3)$ , $C(1\,;\,2)$ . Montrer que $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ .

Application autonome 1

On donne $P(2\,;\,1)$ , $Q(5\,;\,3)$ , $S(6\,;\,5)$ , $R(3\,;\,3)$ . Montrer que $\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{RS}$ .

Application autonome 2

On donne $A(-1\,;\,2)$ , $B(2\,;\,4)$ , $D(3\,;\,1)$ , $C(0\,;\,-1)$ . Montrer que $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ .

Application autonome 3

On donne $M(0\,;\,3)$ , $N(4\,;\,5)$ , $Q(5\,;\,0)$ , $P(1\,;\,-2)$ . Montrer que $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{PQ}$ .

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En montrant que ABDCABDCABDC est un parallélogramme (si AB→=DC→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}AB=DC)

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En montrant que $ABDC$ est un parallélogramme (si $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ )