En identifiant les deux côtés en jeu par rapport à l'angle considéré : adjacent/hypoténuse → $\cos$ , opposé/hypoténuse → $\sin$ , opposé/adjacent → $\tan$

Choisir la bonne relation trigonométrique (cos, sin ou tan) en fonction des côtés connus et du côté ou de l'angle recherché.

L'objectif

Choisir la bonne relation trigonométrique (cos, sin ou tan) en fonction des côtés connus et du côté ou de l'angle recherché.

Le principe

Dans un triangle rectangle en $C$ , pour un angle aigu $\hat{A}$ : le côté adjacent à $\hat{A}$ et l'hypoténuse donnent $\cos$ , le côté opposé à $\hat{A}$ et l'hypoténuse donnent $\sin$ , le côté opposé et le côté adjacent donnent $\tan$ .

La méthode

1
Repérer le sommet de l'angle droit et l'angle aigu $\hat{A}$ considéré dans le triangle rectangle.
2
Nommer les trois côtés par rapport à $\hat{A}$ : l'hypoténuse (côté opposé à l'angle droit, le plus long), le côté adjacent (côté de l'angle $\hat{A}$ qui n'est pas l'hypoténuse) et le côté opposé (en face de $\hat{A}$ ).
3
Identifier les deux côtés en jeu (côtés connus et/ou recherchés), puis choisir la relation :
- côté adjacent et hypoténuse → $\cos \hat{A} = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}$
- côté opposé et hypoténuse → $\sin \hat{A} = \dfrac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}$
- côté opposé et côté adjacent → $\tan \hat{A} = \dfrac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}$

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Dans le triangle $ABC$ rectangle en $C$ , on connaît l'hypoténuse $AB = 10$ et le côté $AC = 6$ . Quelle ligne trigonométrique faut-il utiliser pour l'angle $\hat{A}$ ?

Étape 1 —

Repérer le sommet de l'angle droit et l'angle aigu

\hat{A}

considéré dans le triangle rectangle.

L'angle droit est en $C$ , donc l'hypoténuse est $AB$ . L'angle considéré est $\hat{A}$ .

Étape 2 —

Nommer les trois côtés par rapport à

\hat{A}

: l'hypoténuse (côté opposé à l'angle droit, le plus long), le côté adjacent (côté de l'angle

\hat{A}

qui n'est pas l'hypoténuse) et le côté opposé (en face de

\hat{A}

Par rapport à $\hat{A}$ : l'hypoténuse est $AB = 10$ , le côté adjacent est $AC = 6$ , le côté opposé est $BC$ .

Étape 3 —

Identifier les deux côtés en jeu (côtés connus et/ou recherchés), puis choisir la relation :

côté adjacent et hypoténuse → $\cos \hat{A} = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}$
côté opposé et hypoténuse → $\sin \hat{A} = \dfrac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}$
côté opposé et côté adjacent → $\tan \hat{A} = \dfrac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}$

On dispose du côté adjacent ( $AC$ ) et de l'hypoténuse ( $AB$ ) → on utilise le cosinus : $\cos \hat{A} = \dfrac{AC}{AB}$ .

On utilise le cosinus : $\cos \hat{A} = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{6}{10} = 0{,}6$ .

Application guidée

Dans le triangle $DEF$ rectangle en $F$ , on connaît $DF = 5$ et $DE = 13$ . Quelle ligne trigonométrique faut-il utiliser pour l'angle $\hat{D}$ ?

Application autonome 1

Dans le triangle $PQR$ rectangle en $R$ , on connaît $QR = 4$ et $PQ = 8$ . Quelle ligne trigonométrique faut-il utiliser pour l'angle $\hat{P}$ ?

Application autonome 2

Dans le triangle $MNK$ rectangle en $K$ , on connaît $NK = 7$ et $MK = 5$ . Quelle ligne trigonométrique faut-il utiliser pour l'angle $\hat{M}$ ?

Application autonome 3

Dans le triangle $ABC$ rectangle en $C$ , on connaît $BC = 9$ et $AB = 15$ . Quelle ligne trigonométrique faut-il utiliser pour l'angle $\hat{B}$ ?

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En identifiant les deux côtés en jeu par rapport à l'angle considéré : adjacent/hypoténuse → cos⁡\coscos, opposé/hypoténuse → sin⁡\sinsin, opposé/adjacent → tan⁡\tantan

Pour comprendre, fais des exercices !

En identifiant les deux côtés en jeu par rapport à l'angle considéré : adjacent/hypoténuse → $\cos$ , opposé/hypoténuse → $\sin$ , opposé/adjacent → $\tan$