Comment identifier une transformation dans une figure ?

En cherchant le centre invariant (rotation ou homothétie), puis en calculant l'angle (rotation) ou le rapport (homothétie) à partir de deux points homologues

L'objectif

Identifier si une transformation est une rotation ou une homothétie, trouver son centre, et déterminer son angle ou son rapport.

Le principe

Pour une rotation : les droites $(MM')$ ne passent pas par un point commun, mais les médiatrices de $[MM']$ sont concourantes en $O$ . Pour une homothétie : les droites $(MM')$ sont toutes concourantes en un même point $O$ (le centre). On distingue les deux car une rotation conserve les longueurs ( $OM = OM'$ ) alors qu'une homothétie les multiplie par $|k|$ .

La méthode

1
Repérer deux paires de points homologues, par exemple $(A, A')$ et $(B, B')$ .
2
Tracer les droites $(AA')$ et $(BB')$ . Si elles sont concourantes en un point $O$ , il peut s'agir d'une homothétie (ou d'une translation si elles sont parallèles). Si elles ne se croisent pas au même endroit, chercher les médiatrices de $[AA']$ et $[BB']$ : leur intersection est le centre d'une rotation.
3
Vérifier la nature de la transformation : si $OA = OA'$ (distances égales), c'est une rotation. Si $OA' \neq OA$ , calculer $k = \frac{OA'}{OA}$ (positif si $A'$ est du même côté que $A$ , négatif sinon) pour une homothétie.
4
Si c'est une rotation : mesurer l'angle $\widehat{AOA'}$ au rapporteur (avec son sens) pour obtenir l'angle de rotation $\alpha$ .
5
Vérifier avec une deuxième paire de points homologues que l'angle $\widehat{BOB'} = \alpha$ (ou que le rapport $\frac{OB'}{OB} = k$ ) pour confirmer l'identification.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 5

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