Comment identifier une transformation dans une figure ? | MetMat

Comment identifier une transformation dans une figure ?

En cherchant le centre invariant (rotation ou homothétie), puis en calculant l'angle (rotation) ou le rapport (homothétie) à partir de deux points homologues

Identifier si une transformation est une rotation ou une homothétie, trouver son centre, et déterminer son angle ou son rapport.

L'objectif

Identifier si une transformation est une rotation ou une homothétie, trouver son centre, et déterminer son angle ou son rapport.

Le principe

Pour une rotation : les droites $(MM')$ ne passent pas par un point commun, mais les médiatrices de $[MM']$ sont concourantes en $O$ . Pour une homothétie : les droites $(MM')$ sont toutes concourantes en un même point $O$ (le centre). On distingue les deux car une rotation conserve les longueurs ( $OM = OM'$ ) alors qu'une homothétie les multiplie par $|k|$ .

La méthode

1
Repérer deux paires de points homologues, par exemple $(A, A')$ et $(B, B')$ .
2
Tracer les droites $(AA')$ et $(BB')$ . Si elles sont concourantes en un point $O$ , il peut s'agir d'une homothétie (ou d'une translation si elles sont parallèles). Si elles ne se croisent pas au même endroit, chercher les médiatrices de $[AA']$ et $[BB']$ : leur intersection est le centre d'une rotation.
3
Vérifier la nature de la transformation : si $OA = OA'$ (distances égales), c'est une rotation. Si $OA' \neq OA$ , calculer $k = \frac{OA'}{OA}$ (positif si $A'$ est du même côté que $A$ , négatif sinon) pour une homothétie.
4
Si c'est une rotation : mesurer l'angle $\widehat{AOA'}$ au rapporteur (avec son sens) pour obtenir l'angle de rotation $\alpha$ .
5
Vérifier avec une deuxième paire de points homologues que l'angle $\widehat{BOB'} = \alpha$ (ou que le rapport $\frac{OB'}{OB} = k$ ) pour confirmer l'identification.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

On sait que $A(2,0)$ et $A'(0,2)$ , $B(4,0)$ et $B'(0,4)$ , avec un centre $O(0,0)$ . S'agit-il d'une rotation ou d'une homothétie ? Déterminer ses caractéristiques.

Étape 1 —

Repérer deux paires de points homologues, par exemple

(A, A')

(B, B')

Paires homologues : $(A(2,0), A'(0,2))$ et $(B(4,0), B'(0,4))$ .

Étape 2 —

Tracer les droites

(AA')

(BB')

. Si elles sont concourantes en un point

O

, il peut s'agir d'une homothétie (ou d'une translation si elles sont parallèles). Si elles ne se croisent pas au même endroit, chercher les médiatrices de

[AA']

[BB']

: leur intersection est le centre d'une rotation.

Droites $(AA')$ et $(BB')$ : $(AA')$ passe par $(2,0)$ et $(0,2)$ , équation $x+y=2$ ; $(BB')$ passe par $(4,0)$ et $(0,4)$ , équation $x+y=4$ . Ces droites sont parallèles, pas concourantes en $O$ . On cherche les médiatrices : médiatrice de $[AA']$ : perpendiculaire en milieu $(1,1)$ , direction $(1,-1)$ … mais on peut aussi constater $OA = OA' = 2$ et $OB = OB' = 4$ .

Étape 3 —

Vérifier la nature de la transformation : si

OA = OA'

(distances égales), c'est une rotation. Si

OA' \neq OA

, calculer

k = \frac{OA'}{OA}

(positif si

A'

est du même côté que

A

, négatif sinon) pour une homothétie.

$OA = \sqrt{4+0} = 2$ et $OA' = \sqrt{0+4} = 2$ : distances égales. C'est une rotation de centre $O(0,0)$ .

Étape 4 —

Si c'est une rotation : mesurer l'angle

\widehat{AOA'}

au rapporteur (avec son sens) pour obtenir l'angle de rotation

\alpha

Angle $\widehat{AOA'}$ : $\overrightarrow{OA} = (1,0)$ , $\overrightarrow{OA'} = (0,1)$ . L'angle est $90°$ dans le sens direct.

Étape 5 —

Vérifier avec une deuxième paire de points homologues que l'angle

\widehat{BOB'} = \alpha

(ou que le rapport

\frac{OB'}{OB} = k

) pour confirmer l'identification.

Vérification avec $B$ : $\overrightarrow{OB} = (1,0)$ (même direction que $A$ ), $\overrightarrow{OB'} = (0,1)$ , angle $= 90°$ direct. ✓

C'est une rotation de centre $O(0,0)$ et d'angle $90°$ dans le sens direct.

Application guidée

On donne $A(1,1)$ , $A'(2,2)$ , $B(1,3)$ , $B'(2,6)$ , et on suppose que le centre est $O(0,0)$ . S'agit-il d'une rotation ou d'une homothétie ?

Application autonome 1

On donne $M(3,0)$ et son image $M'(-6,0)$ , avec centre $O(0,0)$ . Identifier la transformation.

Application autonome 2

Un triangle $ABC$ et son image $A'B'C'$ sont tels que $A(0,2)$ , $A'(0,-2)$ , $B(2,2)$ , $B'(-2,-2)$ , $C(2,4)$ , $C'(-2,-4)$ . Centre $O(0,0)$ . Identifier la transformation.

Application autonome 3

On donne deux triangles $ABC$ et $A'B'C'$ où $A(4,0)$ , $A'(0,4)$ , $B(4,2)$ , $B'(-2,4)$ . Le centre supposé est $O(0,0)$ . Déterminer la transformation.

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