Comment construire l'image d'une figure par une homothétie ? | MetMat

Comment construire l'image d'une figure par une homothétie ?

En plaçant l'image de chaque point sur la demi-droite issue du centre $O$ , à une distance égale à $|k|$ fois la distance $OM$ , du même côté si $k > 0$ , du côté opposé si $k < 0$

Construire géométriquement l'image d'une figure par une homothétie de centre $O$ et de rapport $k$ .

L'objectif

Construire géométriquement l'image d'une figure par une homothétie de centre $O$ et de rapport $k$ .

Le principe

L'homothétie de centre $O$ et de rapport $k$ transforme tout point $M$ en un point $M'$ tel que $\overrightarrow{OM'} = k\,\overrightarrow{OM}$ . Si $k > 0$ , $M'$ est du même côté que $M$ par rapport à $O$ ; si $k < 0$ , $M'$ est du côté opposé. La distance vaut $OM' = |k| \times OM$ .

La méthode

1
Repérer le centre d'homothétie $O$ et le rapport $k$ (noter son signe et sa valeur absolue $|k|$ ).
2
Pour chaque sommet $M$ de la figure, tracer la droite $(OM)$ et mesurer la distance $OM$ .
3
Calculer $OM' = |k| \times OM$ .
4
Placer $M'$ sur la demi-droite $[OM)$ si $k > 0$ , ou sur la demi-droite opposée si $k < 0$ , à la distance $OM'$ de $O$ .
5
Répéter les étapes 2 à 4 pour chaque sommet, puis relier les points images pour obtenir la figure image.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Construire l'image du triangle $ABC$ avec $A(1,0)$ , $B(3,0)$ , $C(2,2)$ par l'homothétie de centre $O(0,0)$ et de rapport $k = 2$ .

Étape 1 —

Repérer le centre d'homothétie

O

et le rapport

k

(noter son signe et sa valeur absolue

|k|

Centre $O(0,0)$ , rapport $k = 2 > 0$ , donc $|k| = 2$ . Les images sont du même côté que les points de départ.

Étape 2 —

Pour chaque sommet

M

de la figure, tracer la droite

(OM)

et mesurer la distance

OM

$OA = 1$ , $OB = 3$ , $OC = \sqrt{4+4} = 2\sqrt{2}$ .

Étape 3 —

Calculer

OM' = |k| \times OM

$OA' = 2 \times 1 = 2$ , $OB' = 2 \times 3 = 6$ , $OC' = 2 \times 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$ .

Étape 4 —

Placer

M'

sur la demi-droite

[OM)

k > 0

, ou sur la demi-droite opposée si

k < 0

, à la distance

OM'

O

$k > 0$ donc même côté : $A'(2,0)$ , $B'(6,0)$ , $C'(4,4)$ .

Étape 5 —

Répéter les étapes 2 à 4 pour chaque sommet, puis relier les points images pour obtenir la figure image.

On relie $A'$ , $B'$ , $C'$ pour obtenir le triangle image $A'B'C'$ .

Le triangle image $A'B'C'$ a pour sommets $A'(2,0)$ , $B'(6,0)$ et $C'(4,4)$ .

Application guidée

Construire l'image du segment $[MN]$ avec $M(2,1)$ et $N(4,1)$ par l'homothétie de centre $O(0,0)$ et de rapport $k = \frac{1}{2}$ .

Application autonome 1

Construire l'image du point $P(3,2)$ par l'homothétie de centre $O(1,1)$ et de rapport $k = -1$ .

Application autonome 2

Un carré $EFGH$ a pour sommets $E(1,1)$ , $F(3,1)$ , $G(3,3)$ , $H(1,3)$ . Construire son image par l'homothétie de centre $O(0,0)$ et de rapport $k = -2$ .

Application autonome 3

Un triangle $RST$ avec $R(0,2)$ , $S(2,2)$ , $T(1,4)$ subit une homothétie de centre $O(0,0)$ et de rapport $k = 3$ . Construire l'image.

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En plaçant l'image de chaque point sur la demi-droite issue du centre OOO, à une distance égale à ∣k∣|k|∣k∣ fois la distance OMOMOM, du même côté si k>0k > 0k>0, du côté opposé si k<0k < 0k<0

Pour comprendre, fais des exercices !

En plaçant l'image de chaque point sur la demi-droite issue du centre $O$ , à une distance égale à $|k|$ fois la distance $OM$ , du même côté si $k > 0$ , du côté opposé si $k < 0$