En appliquant que la rotation conserve les longueurs, les angles et les aires pour calculer des grandeurs sur la figure image

Utiliser les propriétés de conservation de la rotation pour calculer ou justifier des égalités de longueurs, d'angles ou d'aires.

L'objectif

Utiliser les propriétés de conservation de la rotation pour calculer ou justifier des égalités de longueurs, d'angles ou d'aires.

Le principe

Une rotation est une isométrie : elle conserve les distances (donc les longueurs de segments), les mesures des angles et les aires des figures. La figure image est donc congruente à la figure de départ.

La méthode

1
Identifier la figure de départ et sa rotation : repérer les points homologues (les paires $M$ et $M'$ correspondantes).
2
Appliquer la conservation des longueurs : pour deux points quelconques $M$ et $N$ de la figure de départ, $M'N' = MN$ .
3
Appliquer la conservation des angles : pour trois points $M$ , $N$ , $P$ de la figure de départ, $\widehat{M'N'P'} = \widehat{MNP}$ .
4
Appliquer la conservation des aires : $\mathcal{A}(\text{figure image}) = \mathcal{A}(\text{figure de départ})$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Le triangle $ABC$ a une aire de $12\,\mathrm{cm}^2$ et est transformé par une rotation. Quelle est l'aire du triangle image $A'B'C'$ ?

Étape 1 —

Identifier la figure de départ et sa rotation : repérer les points homologues (les paires

M

M'

correspondantes).

Les sommets homologues sont $(A, A')$ , $(B, B')$ , $(C, C')$ .

Étape 2 —

Appliquer la conservation des longueurs : pour deux points quelconques

M

N

de la figure de départ,

M'N' = MN

La rotation conserve les longueurs, mais aucune n'est demandée ici.

Étape 3 —

Appliquer la conservation des angles : pour trois points

M

N

P

de la figure de départ,

\widehat{M'N'P'} = \widehat{MNP}

La rotation conserve les angles, mais aucun n'est demandé ici.

Étape 4 —

Appliquer la conservation des aires :

\mathcal{A}(\text{figure image}) = \mathcal{A}(\text{figure de départ})

La rotation conserve les aires, donc $\mathcal{A}(A'B'C') = \mathcal{A}(ABC) = 12\,\mathrm{cm}^2$ .

L'aire du triangle $A'B'C'$ est $12\,\mathrm{cm}^2$ .

Application guidée

Dans un triangle $ABC$ , $AB = 5\,\mathrm{cm}$ , $BC = 7\,\mathrm{cm}$ et $\widehat{ABC} = 48°$ . Le triangle subit une rotation. Donner les mesures correspondantes dans le triangle image $A'B'C'$ .

Application autonome 1

Un rectangle $ABCD$ de longueur $6\,\mathrm{cm}$ et de largeur $4\,\mathrm{cm}$ subit une rotation d'angle $30°$ . Calculer le périmètre et l'aire du rectangle image $A'B'C'D'$ .

Application autonome 2

Dans le triangle $PQR$ , $\widehat{QPR} = 65°$ . Son image par une rotation est le triangle $P'Q'R'$ . Quelle est la mesure de l'angle $\widehat{Q'P'R'}$ ?

Application autonome 3

Un pentagone régulier de côté $3\,\mathrm{cm}$ subit une rotation de centre $O$ et d'angle $72°$ . Calculer le périmètre du pentagone image.

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