En vérifiant deux angles égaux (critère AA), puis en utilisant l'égalité des rapports des côtés homologues pour calculer des longueurs

Identifier deux triangles semblables grâce au critère des deux angles égaux (AA) et calculer une longueur inconnue grâce à l'égalité des rapports des côtés homologues.

L'objectif

Identifier deux triangles semblables grâce au critère des deux angles égaux (AA) et calculer une longueur inconnue grâce à l'égalité des rapports des côtés homologues.

Le principe

Deux triangles sont semblables si deux de leurs angles sont égaux deux à deux (critère AA). Dans ce cas, les rapports des longueurs des côtés homologues sont égaux : $\frac{A'B'}{AB} = \frac{B'C'}{BC} = \frac{A'C'}{AC}$ .

La méthode

1
Identifier les deux triangles à étudier et nommer leurs sommets en respectant l'ordre des angles correspondants.
2
Repérer deux paires d'angles égaux (angles opposés par le sommet, angles alternes-internes, angles communs, etc.) et justifier chaque égalité.
3
Conclure : « Les triangles $ABC$ et $A'B'C'$ ont deux angles égaux deux à deux, donc ils sont semblables (critère AA) ».
4
Écrire l'égalité des rapports des côtés homologues : $\frac{A'B'}{AB} = \frac{B'C'}{BC} = \frac{A'C'}{AC}$ , puis isoler et calculer la longueur inconnue.
Comment appliquer le théorème de Thalès pour calculer une longueur ?Voir

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Exercice d'exemple

Dans un triangle $ABC$ , $D$ est un point de $[AB]$ et $E$ est un point de $[AC]$ tels que $(DE) \parallel (BC)$ . On donne $AB = 10\,\mathrm{cm}$ , $AD = 4\,\mathrm{cm}$ , $BC = 8\,\mathrm{cm}$ . Calculer $DE$ .

Étape 1 —

Identifier les deux triangles à étudier et nommer leurs sommets en respectant l'ordre des angles correspondants.

On étudie les triangles $ADE$ et $ABC$ , avec $A$ comme sommet commun.

Étape 2 —

Repérer deux paires d'angles égaux (angles opposés par le sommet, angles alternes-internes, angles communs, etc.) et justifier chaque égalité.

L'angle $\widehat{DAE} = \widehat{BAC}$ (angle commun). Comme $(DE) \parallel (BC)$ , les angles $\widehat{ADE} = \widehat{ABC}$ (angles correspondants).

Étape 3 —

Conclure : « Les triangles

ABC

A'B'C'

ont deux angles égaux deux à deux, donc ils sont semblables (critère AA) ».

Les triangles $ADE$ et $ABC$ ont deux angles égaux deux à deux, donc ils sont semblables (critère AA).

Étape 4 —

Écrire l'égalité des rapports des côtés homologues :

\frac{A'B'}{AB} = \frac{B'C'}{BC} = \frac{A'C'}{AC}

, puis isoler et calculer la longueur inconnue.

$\frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC}$ , soit $\frac{4}{10} = \frac{DE}{8}$ , donc $DE = \frac{4 \times 8}{10} = 3{,}2\,\mathrm{cm}$ .

$DE = 3{,}2\,\mathrm{cm}$ .

Application guidée

Deux triangles $ABC$ et $DEF$ sont tels que $\widehat{A} = \widehat{D} = 40°$ et $\widehat{B} = \widehat{E} = 70°$ . On donne $AB = 6\,\mathrm{cm}$ , $DE = 9\,\mathrm{cm}$ , $BC = 5\,\mathrm{cm}$ . Calculer $EF$ .

Application autonome 1

Les droites $(AC)$ et $(BD)$ se coupent en $O$ . On sait que $(AB) \parallel (CD)$ . On donne $OA = 4\,\mathrm{cm}$ , $OC = 6\,\mathrm{cm}$ , $AB = 5\,\mathrm{cm}$ . Calculer $CD$ .

Application autonome 2

Dans un triangle $PQR$ rectangle en $R$ , la hauteur issue de $R$ coupe $[PQ]$ en $H$ . On donne $PQ = 13\,\mathrm{cm}$ et $PH = 4\,\mathrm{cm}$ . Les triangles $PHR$ et $PRQ$ sont semblables. Calculer $PR$ .

Application autonome 3

Deux triangles $ABC$ et $ADE$ sont tels que $D \in [AB]$ , $E \in [AC]$ , $(DE) \parallel (BC)$ . On donne $AD = 3\,\mathrm{cm}$ , $DB = 5\,\mathrm{cm}$ , $DE = 4{,}5\,\mathrm{cm}$ . Calculer $BC$ .

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