Comment calculer ou encadrer la racine carrée d'un nombre ?

En identifiant les deux entiers consécutifs $n$ et $n+1$ tels que $n^2 \leq a < (n+1)^2$ , puis en affinant si nécessaire

L'objectif

Calculer la valeur exacte de $\sqrt{a}$ si $a$ est un carré parfait, ou encadrer $\sqrt{a}$ entre deux entiers consécutifs sinon.

Le principe

La racine carrée est une fonction croissante : si $n^2 \leq a < (n+1)^2$ , alors $n \leq \sqrt{a} < n+1$ . On repère les deux carrés parfaits qui encadrent $a$ .

La méthode

1
Repérer si $a$ est un carré parfait (4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100…). Si oui, donner directement $\sqrt{a}$ .
2
Sinon, trouver l'entier $n$ tel que $n^2 \leq a < (n+1)^2$ en listant les carrés parfaits autour de $a$ .
3
Conclure : $n < \sqrt{a} < n+1$ .

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 5

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En identifiant les deux entiers consécutifs nnn et n+1n+1n+1 tels que n2≤a<(n+1)2n^2 \leq a < (n+1)^2n2≤a<(n+1)2, puis en affinant si nécessaire

Exemple corrigé

En identifiant les deux entiers consécutifs $n$ et $n+1$ tels que $n^2 \leq a < (n+1)^2$ , puis en affinant si nécessaire