En appliquant l'égalité des rapports donnée par le théorème de Thalès dans une configuration de triangles emboîtés

Calculer une longueur inconnue dans une figure en utilisant le théorème de Thalès.

L'objectif

Calculer une longueur inconnue dans une figure en utilisant le théorème de Thalès.

Le principe

Si dans un triangle $OAB$ , une droite parallèle à $(AB)$ coupe $[OA]$ en $M$ et $[OB]$ en $N$ , alors $\frac{OM}{OA} = \frac{ON}{OB} = \frac{MN}{AB}$ .

La méthode

1
Identifier la configuration : un point $O$ (sommet), deux droites sécantes issues de $O$ , et deux droites parallèles entre elles coupant ces sécantes.
2
Vérifier et mentionner que $(MN) \parallel (AB)$ (condition d'application du théorème de Thalès).
3
Écrire l'égalité des rapports : $\frac{OM}{OA} = \frac{ON}{OB} = \frac{MN}{AB}$ .
Comment appliquer le théorème de Thalès pour calculer une longueur ?Voir
4
Sélectionner le rapport utile contenant la longueur inconnue, puis résoudre l'équation par produit en croix.
5
Conclure en donnant la valeur de la longueur inconnue avec son unité.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Dans un triangle $OAB$ , la droite $(MN)$ est parallèle à $(AB)$ avec $M \in [OA]$ et $N \in [OB]$ . On sait que $OM = 3\,\mathrm{cm}$ , $OA = 9\,\mathrm{cm}$ et $OB = 12\,\mathrm{cm}$ . Calculer $ON$ .

Étape 1 —

Identifier la configuration : un point

O

(sommet), deux droites sécantes issues de

O

, et deux droites parallèles entre elles coupant ces sécantes.

Configuration : point $O$ , droites sécantes $[OA]$ et $[OB]$ , droite $(MN)$ coupant ces sécantes.

Étape 2 —

Vérifier et mentionner que

(MN) \parallel (AB)

(condition d'application du théorème de Thalès).

$(MN) \parallel (AB)$ , donc le théorème de Thalès s'applique dans le triangle $OAB$ .

Étape 3 —

Écrire l'égalité des rapports :

\frac{OM}{OA} = \frac{ON}{OB} = \frac{MN}{AB}

$\frac{OM}{OA} = \frac{ON}{OB} = \frac{MN}{AB}$ .

Étape 4 —

Sélectionner le rapport utile contenant la longueur inconnue, puis résoudre l'équation par produit en croix.

On utilise $\frac{OM}{OA} = \frac{ON}{OB}$ : $\frac{3}{9} = \frac{ON}{12}$ , donc $ON = \frac{3 \times 12}{9} = 4$ .

Étape 5 —

Conclure en donnant la valeur de la longueur inconnue avec son unité.

$ON = 4\,\mathrm{cm}$ .

$ON = \mathbf{4\,\mathrm{cm}}$ .

Application guidée

Dans un triangle $OPQ$ , la droite $(RS)$ est parallèle à $(PQ)$ avec $R \in [OP]$ et $S \in [OQ]$ . On a $OR = 5\,\mathrm{cm}$ , $RP = 10\,\mathrm{cm}$ et $PQ = 9\,\mathrm{cm}$ . Calculer $RS$ .

Application autonome 1

Dans un triangle $OCD$ , on a $(EF) \parallel (CD)$ avec $E \in [OC]$ et $F \in [OD]$ . On mesure $OE = 4\,\mathrm{cm}$ , $OC = 10\,\mathrm{cm}$ , $OD = 15\,\mathrm{cm}$ . Calculer $OF$ .

Application autonome 2

Dans un triangle $OIJ$ , $(KL) \parallel (IJ)$ avec $K \in [OI]$ et $L \in [OJ]$ . On a $OK = 6\,\mathrm{cm}$ , $KI = 4\,\mathrm{cm}$ , $KL = 7{,}5\,\mathrm{cm}$ . Calculer $IJ$ .

Application autonome 3

Un arbre de hauteur inconnue projette une ombre de $8\,\mathrm{m}$ . Au même moment, un poteau de $1{,}5\,\mathrm{m}$ projette une ombre de $2\,\mathrm{m}$ . Modéliser avec Thalès pour trouver la hauteur de l'arbre.

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