En appliquant $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Calculer la probabilité de la réunion de deux événements en évitant de compter deux fois les issues appartenant aux deux événements.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

On lance un dé équilibré. $A$ = « obtenir un nombre pair », $B$ = « obtenir un multiple de 3 ». Calculer $P(A \cup B)$ .

L'objectif

Calculer la probabilité de la réunion de deux événements en évitant de compter deux fois les issues appartenant aux deux événements.

Le principe

La réunion $A \cup B$ contient les issues de $A$ et celles de $B$ . Si on additionne $P(A)$ et $P(B)$ , on compte deux fois les issues dans $A \cap B$ . La formule $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ corrige cela. Cas particulier : si $A$ et $B$ sont incompatibles (sans issue commune), alors $P(A \cap B) = 0$ et $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ .

La méthode

1
Identifier les événements $A$ et $B$ en précisant quelles issues les composent.
2
Calculer $P(A)$ , $P(B)$ et $P(A \cap B)$ (probabilité que $A$ et $B$ se réalisent tous les deux).
Comment calculer la probabilité d'un événement ?Voir
3
Appliquer la formule : $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ .
4
Vérifier que le résultat est bien compris entre 0 et 1.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

On lance un dé équilibré. $A$ = « obtenir un nombre pair », $B$ = « obtenir un multiple de 3 ». Calculer $P(A \cup B)$ .

Étape 1 —

Identifier les événements

A

B

en précisant quelles issues les composent.

$A = \{2, 4, 6\}$ (nombres pairs), $B = \{3, 6\}$ (multiples de 3).

Étape 2 —

Calculer

P(A)

P(B)

P(A \cap B)

(probabilité que

A

B

se réalisent tous les deux).

$P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ , $P(B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ , $A \cap B = \{6\}$ donc $P(A \cap B) = \frac{1}{6}$ .

Étape 3 —

Appliquer la formule :

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

$P(A \cup B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} - \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ .

Étape 4 —

Vérifier que le résultat est bien compris entre 0 et 1.

$\frac{2}{3} \approx 0{,}67$ , bien compris entre 0 et 1.

$P(A \cup B) = \frac{2}{3}$

Application guidée

On tire une carte au hasard dans un jeu de 52 cartes. $A$ = « tirer un cœur », $B$ = « tirer une figure (valet, dame, roi) ». Calculer $P(A \cup B)$ .

Application autonome 1

Un sac contient 10 jetons numérotés de 1 à 10. $A$ = « tirer un nombre impair », $B$ = « tirer un nombre supérieur à 7 ». Calculer $P(A \cup B)$ .

Application autonome 2

On lance un dé équilibré. $A$ = « obtenir 1 » et $B$ = « obtenir 2 ». Ces événements sont-ils incompatibles ? Calculer $P(A \cup B)$ .

Application autonome 3

Dans une classe de 30 élèves, 18 pratiquent un sport, 12 jouent d'un instrument et 6 font les deux. On choisit un élève au hasard. Calculer la probabilité qu'il pratique un sport ou joue d'un instrument.

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En appliquant P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)

Pour comprendre, fais des exercices !

En appliquant $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$