En calculant le PPCM des périodes, puis en répondant à la question posée

Trouver le prochain instant où plusieurs phénomènes périodiques coïncident, en utilisant le PPCM de leurs périodes.

L'objectif

Trouver le prochain instant où plusieurs phénomènes périodiques coïncident, en utilisant le PPCM de leurs périodes.

Le principe

Deux (ou plusieurs) phénomènes périodiques de périodes $T_1$ et $T_2$ coïncident à nouveau après un délai égal au $\mathrm{PPCM}(T_1, T_2)$ . Le PPCM se calcule à partir des décompositions en facteurs premiers : on prend chaque facteur premier au plus grand exposant.

La méthode

1
Identifier la période de chaque phénomène (intervalle de temps entre deux répétitions).
2
Décomposer chaque période en facteurs premiers.
Comment décomposer un entier en produit de facteurs premiers ?Voir
3
Calculer le $\mathrm{PPCM}$ des périodes : prendre chaque facteur premier au plus grand exposant et multiplier ces puissances.
4
Répondre à la question posée : la prochaine coïncidence a lieu après $\mathrm{PPCM}$ unités de temps, ou à la date initiale augmentée du $\mathrm{PPCM}$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Deux bus partent ensemble à 8h d'une même gare. Le premier revient toutes les 12 minutes, le second toutes les 18 minutes. À quelle heure repartiront-ils à nouveau ensemble pour la première fois ?

Étape 1 —

Identifier la période de chaque phénomène (intervalle de temps entre deux répétitions).

Période du bus 1 : $12$ minutes. Période du bus 2 : $18$ minutes.

Étape 2 —

Décomposer chaque période en facteurs premiers.

$12 = 2^2 \times 3$ et $18 = 2 \times 3^2$ .

Étape 3 —

Calculer le

\mathrm{PPCM}

des périodes : prendre chaque facteur premier au plus grand exposant et multiplier ces puissances.

$\mathrm{PPCM}(12, 18) = 2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36$ minutes.

Étape 4 —

Répondre à la question posée : la prochaine coïncidence a lieu après

\mathrm{PPCM}

unités de temps, ou à la date initiale augmentée du

\mathrm{PPCM}

Les deux bus repartiront ensemble $36$ minutes après 8h, soit à $8\mathrm{h}\,36$ .

Les deux bus repartiront ensemble à $8\mathrm{h}\,36$ .

Application guidée

Un feu clignote toutes les 8 secondes et un autre toutes les 20 secondes. Ils clignotent ensemble au départ. Au bout de combien de secondes clignotent-ils à nouveau en même temps ?

Application autonome 1

Trois engrenages ont respectivement 6, 10 et 15 dents. Une marque se trouve initialement sur la même dent de chaque engrenage. Après combien de dents les marques se retrouvent-elles à nouveau alignées ?

Application autonome 2

Un satellite A fait le tour de sa planète en 12 jours, un satellite B en 20 jours. Ils sont alignés aujourd'hui. Dans combien de jours seront-ils à nouveau alignés du même côté ?

Application autonome 3

Deux lampes clignotent simultanément. La première clignote toutes les 14 secondes, la seconde toutes les 35 secondes. Après combien de secondes clignotent-elles à nouveau ensemble ?

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