En calculant le PPCM des périodes, puis en répondant à la question posée

Trouver le prochain instant où plusieurs phénomènes périodiques coïncident, en utilisant le PPCM de leurs périodes.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Deux bus partent ensemble à 8h d'une même gare. Le premier revient toutes les 12 minutes, le second toutes les 18 minutes. À quelle heure repartiront-ils à nouveau ensemble pour la première fois ?

L'objectif

Trouver le prochain instant où plusieurs phénomènes périodiques coïncident, en utilisant le PPCM de leurs périodes.

Le principe

Deux (ou plusieurs) phénomènes périodiques de périodes $T_1$ et $T_2$ coïncident à nouveau après un délai égal au $\mathrm{PPCM}(T_1, T_2)$ . Le PPCM se calcule à partir des décompositions en facteurs premiers : on prend chaque facteur premier au plus grand exposant.

La méthode

1
Identifier la période de chaque phénomène (intervalle de temps entre deux répétitions).
2
Décomposer chaque période en facteurs premiers.
Comment décomposer un entier en produit de facteurs premiers ?Voir
3
Calculer le $\mathrm{PPCM}$ des périodes : prendre chaque facteur premier au plus grand exposant et multiplier ces puissances.
4
Répondre à la question posée : la prochaine coïncidence a lieu après $\mathrm{PPCM}$ unités de temps, ou à la date initiale augmentée du $\mathrm{PPCM}$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Étape 1 —

Identifier la période de chaque phénomène (intervalle de temps entre deux répétitions).

Période du bus 1 : $12$ minutes. Période du bus 2 : $18$ minutes.

Étape 2 —

Décomposer chaque période en facteurs premiers.

$12 = 2^2 \times 3$ et $18 = 2 \times 3^2$ .

Étape 3 —

Calculer le

\mathrm{PPCM}

des périodes : prendre chaque facteur premier au plus grand exposant et multiplier ces puissances.

$\mathrm{PPCM}(12, 18) = 2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36$ minutes.

Étape 4 —

Répondre à la question posée : la prochaine coïncidence a lieu après

\mathrm{PPCM}

unités de temps, ou à la date initiale augmentée du

\mathrm{PPCM}

Les deux bus repartiront ensemble $36$ minutes après 8h, soit à $8\mathrm{h}\,36$ .

Les deux bus repartiront ensemble à $8\mathrm{h}\,36$ .

Application guidée

Un feu clignote toutes les 8 secondes et un autre toutes les 20 secondes. Ils clignotent ensemble au départ. Au bout de combien de secondes clignotent-ils à nouveau en même temps ?

Application autonome 1

Trois engrenages ont respectivement 6, 10 et 15 dents. Une marque se trouve initialement sur la même dent de chaque engrenage. Après combien de dents les marques se retrouvent-elles à nouveau alignées ?

Application autonome 2

Un satellite A fait le tour de sa planète en 12 jours, un satellite B en 20 jours. Ils sont alignés aujourd'hui. Dans combien de jours seront-ils à nouveau alignés du même côté ?

Application autonome 3

Deux lampes clignotent simultanément. La première clignote toutes les 14 secondes, la seconde toutes les 35 secondes. Après combien de secondes clignotent-elles à nouveau ensemble ?

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