Comment vérifier si deux vecteurs sont colinéaires à l'aide du déterminant ? | MetMat

Comment vérifier si deux vecteurs sont colinéaires à l'aide du déterminant ?

En calculant $\det(\vec{u},\vec{v}) = x_1 y_2 - x_2 y_1$ : les vecteurs sont colinéaires si et seulement si ce déterminant est nul

Déterminer si deux vecteurs $\vec{u}(x_1\,;\,y_1)$ et $\vec{v}(x_2\,;\,y_2)$ sont colinéaires.

L'objectif

Déterminer si deux vecteurs $\vec{u}(x_1\,;\,y_1)$ et $\vec{v}(x_2\,;\,y_2)$ sont colinéaires.

Le principe

Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul : $\det(\vec{u},\vec{v}) = x_1 y_2 - x_2 y_1 = 0$ .

La méthode

1
Relever les coordonnées $\vec{u}(x_1\,;\,y_1)$ et $\vec{v}(x_2\,;\,y_2)$ .
2
Calculer le déterminant : $\det(\vec{u},\vec{v}) = x_1 y_2 - x_2 y_1$ .
3
Conclure : si $\det(\vec{u},\vec{v}) = 0$ alors $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires ; sinon ils ne le sont pas.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Les vecteurs $\vec{u}(3\,;\,6)$ et $\vec{v}(1\,;\,2)$ sont-ils colinéaires ?

Étape 1 —

Relever les coordonnées

\vec{u}(x_1\,;\,y_1)

\vec{v}(x_2\,;\,y_2)

On relève $x_1 = 3$ , $y_1 = 6$ , $x_2 = 1$ , $y_2 = 2$ .

Étape 2 —

Calculer le déterminant :

\det(\vec{u},\vec{v}) = x_1 y_2 - x_2 y_1

$\det(\vec{u},\vec{v}) = 3 \times 2 - 1 \times 6 = 6 - 6 = 0$ .

Étape 3 —

Conclure : si

\det(\vec{u},\vec{v}) = 0

alors

\vec{u}

\vec{v}

sont colinéaires ; sinon ils ne le sont pas.

Le déterminant est nul, donc $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires.

$\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires.

Application guidée

Les vecteurs $\vec{u}(2\,;\,3)$ et $\vec{v}(4\,;\,5)$ sont-ils colinéaires ?

Application autonome 1

Les vecteurs $\vec{u}(-4\,;\,6)$ et $\vec{v}(2\,;\,-3)$ sont-ils colinéaires ?

Application autonome 2

Les vecteurs $\vec{u}(1\,;\,0)$ et $\vec{v}(0\,;\,1)$ sont-ils colinéaires ?

Application autonome 3

Les vecteurs $\vec{u}(5\,;\,-2)$ et $\vec{v}(-10\,;\,4)$ sont-ils colinéaires ?

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