En multipliant chaque coordonnée par le réel : $k\,\vec{u}(x\,;\,y) = (kx\,;\,ky)$

Calculer les coordonnées du vecteur $k\,\vec{u}$ , produit d'un vecteur par un réel $k$ .

L'objectif

Calculer les coordonnées du vecteur $k\,\vec{u}$ , produit d'un vecteur par un réel $k$ .

Le principe

Multiplier un vecteur par un réel revient à multiplier chacune de ses coordonnées par ce réel ; cela change la longueur (et éventuellement le sens) du vecteur.

La méthode

1
Identifier le vecteur $\vec{u}(x\,;\,y)$ et le réel $k$ .
2
Multiplier la première coordonnée par $k$ : $kx$ .
3
Multiplier la deuxième coordonnée par $k$ : $ky$ . Le vecteur résultat est $k\,\vec{u} = (kx\,;\,ky)$ . Si $k < 0$ , le vecteur est de sens opposé.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Calculer $3\,\vec{u}$ avec $\vec{u}(2\,;\,-1)$ .

Étape 1 —

Identifier le vecteur

\vec{u}(x\,;\,y)

et le réel

k

Le vecteur est $\vec{u}(2\,;\,-1)$ et le réel est $k = 3$ .

Étape 2 —

Multiplier la première coordonnée par

k

kx

Première coordonnée : $3 \times 2 = 6$ .

Étape 3 —

Multiplier la deuxième coordonnée par

k

ky

. Le vecteur résultat est

k\,\vec{u} = (kx\,;\,ky)

. Si

k < 0

, le vecteur est de sens opposé.

Deuxième coordonnée : $3 \times (-1) = -3$ . Donc $3\,\vec{u} = (6\,;\,-3)$ .

$3\,\vec{u} = (6\,;\,-3)$

Application guidée

Calculer $-2\,\vec{v}$ avec $\vec{v}(3\,;\,4)$ .

Application autonome 1

Calculer $\frac{1}{2}\,\vec{w}$ avec $\vec{w}(4\,;\,-6)$ .

Application autonome 2

Calculer $2\,\vec{u} - 3\,\vec{v}$ avec $\vec{u}(1\,;\,2)$ et $\vec{v}(-1\,;\,1)$ .

Application autonome 3

Calculer $-\frac{3}{2}\,\vec{u}$ avec $\vec{u}(4\,;\,-6)$ .

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En multipliant chaque coordonnée par le réel : k u⃗(x ; y)=(kx ; ky)k\,\vec{u}(x\,;\,y) = (kx\,;\,ky)ku(x;y)=(kx;ky)

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En multipliant chaque coordonnée par le réel : $k\,\vec{u}(x\,;\,y) = (kx\,;\,ky)$