Comment approcher numériquement un extremum d'une fonction (balayage, dichotomie) ? | MetMat

Comment approcher numériquement un extremum d'une fonction (balayage, dichotomie) ?

Par dichotomie : diviser l'intervalle encadrant l'extremum en deux à chaque étape et conserver le sous-intervalle qui contient le maximum (ou minimum), jusqu'à atteindre la précision souhaitée

Approcher numériquement la valeur d'un extremum d'une fonction par la méthode de dichotomie.

L'objectif

Approcher numériquement la valeur d'un extremum d'une fonction par la méthode de dichotomie.

Le principe

On encadre l'abscisse de l'extremum dans un intervalle $[a\,;\,b]$ , puis on compare $f$ au milieu $m = \frac{a+b}{2}$ et à ses voisins pour décider quel demi-intervalle contient l'extremum.

La méthode

1
Partir d'un intervalle $[a\,;\,b]$ contenant l'extremum et calculer le milieu $m = \frac{a+b}{2}$ .
2
Comparer $f(m)$ à $f\!\left(\frac{a+m}{2}\right)$ et $f\!\left(\frac{m+b}{2}\right)$ pour déterminer dans quel demi-intervalle se trouve l'extremum.
3
Remplacer $[a\,;\,b]$ par le demi-intervalle retenu et répéter jusqu'à ce que la longueur $b - a$ soit inférieure à la précision souhaitée.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Le maximum de $f(x) = -x^2 + 4x$ se trouve dans $[1\,;\,3]$ . Appliquer deux étapes de dichotomie.

Étape 1 —

Partir d'un intervalle

[a\,;\,b]

contenant l'extremum et calculer le milieu

m = \frac{a+b}{2}

Étape 1 : $m_1 = \frac{1+3}{2} = 2$ . On calcule $f(1{,}5) = 3{,}75$ , $f(2) = 4$ , $f(2{,}5) = 3{,}75$ . Le maximum est au milieu $m_1 = 2$ : on conserve $[1{,}5\,;\,2{,}5]$ .

Étape 2 —

Comparer

f(m)

f\!\left(\frac{a+m}{2}\right)

f\!\left(\frac{m+b}{2}\right)

pour déterminer dans quel demi-intervalle se trouve l'extremum.

Étape 2 : $m_2 = \frac{1{,}5 + 2{,}5}{2} = 2$ . $f(1{,}75) = 3{,}9375$ , $f(2) = 4$ , $f(2{,}25) = 3{,}9375$ . Le maximum est encore en $x = 2$ .

Étape 3 —

Remplacer

[a\,;\,b]

par le demi-intervalle retenu et répéter jusqu'à ce que la longueur

b - a

soit inférieure à la précision souhaitée.

L'intervalle converge vers $x = 2$ : l'abscisse du maximum est $2$ et $f(2) = 4$ .

Le maximum de $f$ est $f(2) = 4$ , atteint en $x = 2$ .

Application guidée

Le minimum de $g(x) = x^2 - 2x + 3$ est dans $[0\,;\,2]$ . Faire deux itérations de dichotomie.

Application autonome 1

Expliquer l'avantage de la dichotomie sur le balayage pour approcher un extremum.

Application autonome 2

Le maximum de $f(x) = -x^2 + 6x - 5$ est dans $[2\,;\,4]$ . Faire deux étapes de dichotomie.

Application autonome 3

Le minimum de $g(x) = (x - 1)^2 + 3$ est dans $[0\,;\,2]$ . Effectuer deux itérations de dichotomie.

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