Comment approcher numériquement un extremum d'une fonction (balayage, dichotomie) ?

Par balayage : parcourir l'intervalle avec un pas $h$ régulier, calculer $f$ en chaque point, identifier le candidat extremum, puis recommencer avec un pas plus petit pour affiner

L'objectif

Approcher numériquement la valeur d'un extremum d'une fonction par la méthode du balayage.

Le principe

On évalue $f$ sur une grille de points espacés de $h$ ; le point fournissant la plus grande (ou petite) valeur est le candidat extremum, qu'on affine en réduisant le pas.

La méthode

1
Choisir un intervalle $[a\,;\,b]$ contenant l'extremum et un pas initial $h$ (par exemple $h = 0{,}1$ ).
2
Calculer $f(a)$ , $f(a+h)$ , $f(a+2h)$ , … jusqu'à $f(b)$ et repérer le $x_0$ qui donne la valeur maximale (ou minimale).
3
Recommencer sur $[x_0 - h\,;\,x_0 + h]$ avec un pas dix fois plus petit ( $h' = h/10$ ) pour affiner la précision, et répéter autant de fois que nécessaire.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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Par balayage : parcourir l'intervalle avec un pas hhh régulier, calculer fff en chaque point, identifier le candidat extremum, puis recommencer avec un pas plus petit pour affiner

Exemple corrigé

Par balayage : parcourir l'intervalle avec un pas $h$ régulier, calculer $f$ en chaque point, identifier le candidat extremum, puis recommencer avec un pas plus petit pour affiner