Comment approcher numériquement un extremum d'une fonction (balayage, dichotomie) ? | MetMat

Comment approcher numériquement un extremum d'une fonction (balayage, dichotomie) ?

Par balayage : parcourir l'intervalle avec un pas $h$ régulier, calculer $f$ en chaque point, identifier le candidat extremum, puis recommencer avec un pas plus petit pour affiner

Approcher numériquement la valeur d'un extremum d'une fonction par la méthode du balayage.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

On cherche le maximum de $f(x) = -x^2 + 4x - 1$ sur $[0\,;\,4]$ . Appliquer la méthode de balayage avec un pas $h = 1$ , puis $h = 0{,}1$ .

L'objectif

Approcher numériquement la valeur d'un extremum d'une fonction par la méthode du balayage.

Le principe

On évalue $f$ sur une grille de points espacés de $h$ ; le point fournissant la plus grande (ou petite) valeur est le candidat extremum, qu'on affine en réduisant le pas.

La méthode

1
Choisir un intervalle $[a\,;\,b]$ contenant l'extremum et un pas initial $h$ (par exemple $h = 0{,}1$ ).
2
Calculer $f(a)$ , $f(a+h)$ , $f(a+2h)$ , … jusqu'à $f(b)$ et repérer le $x_0$ qui donne la valeur maximale (ou minimale).
3
Recommencer sur $[x_0 - h\,;\,x_0 + h]$ avec un pas dix fois plus petit ( $h' = h/10$ ) pour affiner la précision, et répéter autant de fois que nécessaire.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

On cherche le maximum de $f(x) = -x^2 + 4x - 1$ sur $[0\,;\,4]$ . Appliquer la méthode de balayage avec un pas $h = 1$ , puis $h = 0{,}1$ .

Étape 1 —

Choisir un intervalle

[a\,;\,b]

contenant l'extremum et un pas initial

h

(par exemple

h = 0{,}1

Pas $h = 1$ : on calcule $f(0) = -1$ , $f(1) = 2$ , $f(2) = 3$ , $f(3) = 2$ , $f(4) = -1$ . Le maximum provisoire est en $x_0 = 2$ avec $f(2) = 3$ .

Étape 2 —

Calculer

f(a)

f(a+h)

f(a+2h)

, … jusqu'à

f(b)

et repérer le

x_0

qui donne la valeur maximale (ou minimale).

Pas $h = 0{,}1$ sur $[1{,}9\,;\,2{,}1]$ : $f(1{,}9) = 2{,}99$ , $f(2{,}0) = 3{,}00$ , $f(2{,}1) = 2{,}99$ . Le maximum est toujours en $x_0 = 2{,}0$ .

Étape 3 —

Recommencer sur

[x_0 - h\,;\,x_0 + h]

avec un pas dix fois plus petit (

h' = h/10

) pour affiner la précision, et répéter autant de fois que nécessaire.

On affinerait encore avec $h = 0{,}01$ si besoin, mais ici $x = 2$ semble être le maximum exact.

Le maximum de $f$ sur $[0\,;\,4]$ est atteint en $x = 2$ avec $f(2) = 3$ .

Application guidée

Approcher à $0{,}01$ près le minimum de $g(x) = x^2 - 3x + 1$ sur $[0\,;\,3]$ par balayage.

Application autonome 1

On sait que $f(x) = -x^2 + 6x$ a un maximum sur $[2\,;\,4]$ . Faire un balayage avec $h = 0{,}5$ .

Application autonome 2

Approcher à $0{,}1$ près le maximum de $f(x) = -x^2 + 2x + 3$ sur $[0\,;\,3]$ par balayage avec $h = 0{,}5$ puis $h = 0{,}1$ .

Application autonome 3

Approcher à $0{,}01$ près le minimum de $g(x) = x^2 + x - 1$ sur $[-1\,;\,0]$ par balayage.

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Par balayage : parcourir l'intervalle avec un pas hhh régulier, calculer fff en chaque point, identifier le candidat extremum, puis recommencer avec un pas plus petit pour affiner

Pour comprendre, fais des exercices !

Par balayage : parcourir l'intervalle avec un pas $h$ régulier, calculer $f$ en chaque point, identifier le candidat extremum, puis recommencer avec un pas plus petit pour affiner