Comment relier le signe du coefficient directeur et le sens de variation d'une fonction affine ? | MetMat

Comment relier le signe du coefficient directeur et le sens de variation d'une fonction affine ?

En calculant $f(b) - f(a) = m(b-a)$ pour $b > a$ : si $m > 0$ , la différence est positive donc $f$ est croissante ; si $m < 0$ , la différence est négative donc $f$ est décroissante ; si $m = 0$ , $f$ est constante

Déterminer le sens de variation d'une fonction affine $f(x) = mx + p$ à partir du signe de $m$ .

L'objectif

Déterminer le sens de variation d'une fonction affine $f(x) = mx + p$ à partir du signe de $m$ .

Le principe

Pour une fonction affine $f(x) = mx + p$ et $a < b$ , on a $f(b) - f(a) = m(b - a)$ ; le signe de cette différence est celui de $m$ car $b - a > 0$ .

La méthode

1
Prendre $a < b$ et calculer $f(b) - f(a) = (mb + p) - (ma + p) = m(b - a)$ (les $p$ se simplifient).
2
Observer que $b - a > 0$ , donc le signe de $f(b) - f(a)$ est celui de $m$ .
3
Conclure : si $m > 0$ , alors $f(b) > f(a)$ : $f$ est croissante ; si $m < 0$ , alors $f(b) < f(a)$ : $f$ est décroissante ; si $m = 0$ , $f(b) = f(a)$ : $f$ est constante.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Étudier les variations de $f(x) = 3x - 5$ .

Étape 1 —

Prendre

a < b

et calculer

f(b) - f(a) = (mb + p) - (ma + p) = m(b - a)

(les

p

se simplifient).

Soient $a < b$ . $f(b) - f(a) = (3b - 5) - (3a - 5) = 3(b - a)$ .

Étape 2 —

Observer que

b - a > 0

, donc le signe de

f(b) - f(a)

est celui de

m

$b - a > 0$ , donc $3(b-a) > 0$ .

Étape 3 —

Conclure : si

m > 0

, alors

f(b) > f(a)

f

est croissante ; si

m < 0

, alors

f(b) < f(a)

f

est décroissante ; si

m = 0

f(b) = f(a)

f

est constante.

$f(b) - f(a) > 0$ , soit $f(b) > f(a)$ : $f$ est croissante sur $\mathbb{R}$ .

$f(x) = 3x - 5$ est croissante sur $\mathbb{R}$ (coefficient directeur $m = 3 > 0$ ).

Application guidée

Étudier les variations de $g(x) = -2x + 7$ .

Application autonome 1

Étudier les variations de $h(x) = 4$ .

Application autonome 2

Sans calculer les images, dire si $f(x) = \frac{1}{2}x - 3$ est croissante ou décroissante.

Application autonome 3

Étudier les variations de $f(x) = -\frac{3}{4}x + 1$ .

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