Comment étudier algébriquement les variations d'une fonction de référence ?

Pour $f(x) = x^2$ : calculer $f(b) - f(a) = (b-a)(b+a)$ pour $a < b$ et étudier le signe selon que $a, b \in ]-\infty\,;\,0]$ ou $[0\,;\,+\infty[$

On factorise la différence $b^2 - a^2 = (b-a)(b+a)$ et on discute le signe de chaque facteur selon la position de $a$ et $b$ par rapport à $0$ pour déterminer la monotonie de $x \mapsto x^2$.

Pour $f(x) = \frac{1}{x}$ (sur $]0\,;\,+\infty[$) : calculer $f(b) - f(a) = \frac{a-b}{ab}$ pour $0 < a < b$ et conclure que $f$ est décroissante

On met la différence $\frac{1}{b} - \frac{1}{a}$ au même dénominateur pour obtenir $\frac{a-b}{ab}$, puis on étudie le signe de chaque facteur quand $0 < a < b$.

Pour $f(x) = \sqrt{x}$ : utiliser $\sqrt{b} - \sqrt{a} = \frac{b-a}{\sqrt{b}+\sqrt{a}} > 0$ pour $0 \leq a < b$ pour montrer que $f$ est croissante

On utilise la multiplication par la quantité conjuguée pour transformer la différence $\sqrt{b} - \sqrt{a}$ en une fraction de signe facile à déterminer.