Comment déterminer graphiquement les extremums d'une fonction sur un intervalle ? | MetMat

Comment déterminer graphiquement les extremums d'une fonction sur un intervalle ?

En identifiant sur la courbe les points sommets (maximum local) et les points creux (minimum local) sur l'intervalle étudié

Déterminer graphiquement les extremums (maximum et minimum locaux) d'une fonction sur un intervalle donné.

L'objectif

Déterminer graphiquement les extremums (maximum et minimum locaux) d'une fonction sur un intervalle donné.

Le principe

Un maximum local correspond au point le plus haut de la courbe sur un intervalle (changement de croissant à décroissant), un minimum local au point le plus bas (changement de décroissant à croissant).

La méthode

1
Délimiter sur le graphique la portion de courbe correspondant à l'intervalle étudié.
2
Repérer les points sommets (courbe passe de montante à descendante) et les points creux (courbe passe de descendante à montante).
3
Lire les coordonnées $(x_0\,;\,f(x_0))$ de chaque sommet ou creux : $x_0$ est l'abscisse de l'extremum, $f(x_0)$ la valeur de l'extremum.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Sur $[-4\,;\,4]$ , la courbe de $f$ présente un sommet en $(1\,;\,3)$ et un creux en $(-2\,;\,-1)$ . Identifier les extremums.

Étape 1 —

Délimiter sur le graphique la portion de courbe correspondant à l'intervalle étudié.

On se limite à la portion de courbe pour $x \in [-4\,;\,4]$ .

Étape 2 —

Repérer les points sommets (courbe passe de montante à descendante) et les points creux (courbe passe de descendante à montante).

Le sommet est en $x = 1$ (passage de $\nearrow$ à $\searrow$ ) ; le creux est en $x = -2$ (passage de $\searrow$ à $\nearrow$ ).

Étape 3 —

Lire les coordonnées

(x_0\,;\,f(x_0))

de chaque sommet ou creux :

x_0

est l'abscisse de l'extremum,

f(x_0)

la valeur de l'extremum.

Le maximum local est $f(1) = 3$ ; le minimum local est $f(-2) = -1$ .

$f$ admet un maximum local de $3$ en $x = 1$ et un minimum local de $-1$ en $x = -2$ sur $[-4\,;\,4]$ .

Application guidée

La courbe de $g$ sur $[0\,;\,6]$ est strictement décroissante, avec $g(0) = 5$ et $g(6) = -2$ . Quels sont les extremums sur cet intervalle ?

Application autonome 1

Sur $[-3\,;\,3]$ , la courbe de $h$ présente un creux en $(-1\,;\,-4)$ et un sommet en $(2\,;\,6)$ . Identifier les extremums locaux.

Application autonome 2

La courbe de $f$ sur $[-5\,;\,2]$ est strictement croissante, avec $f(-5) = -3$ et $f(2) = 6$ . Quels sont les extremums de $f$ sur cet intervalle ?

Application autonome 3

Sur $[-2\,;\,5]$ , la courbe de $g$ admet un sommet en $(1\,;\,7)$ et un creux en $(4\,;\,0)$ . Aux bornes, $g(-2) = 2$ et $g(5) = 3$ . Identifier les extremums locaux.

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