En associant les flèches montantes aux intervalles de croissance et les flèches descendantes aux intervalles de décroissance, et en lisant les extremums aux valeurs inscrites aux extrémités des flèches

Extraire les informations de sens de variation et d'extremums à partir d'un tableau de variations donné.

L'objectif

Extraire les informations de sens de variation et d'extremums à partir d'un tableau de variations donné.

Le principe

Une flèche $\nearrow$ indique la croissance sur l'intervalle correspondant, une flèche $\searrow$ indique la décroissance ; les valeurs aux sommets des flèches sont des maximums locaux, celles aux creux sont des minimums locaux.

La méthode

1
Lire les bornes de l'axe des $x$ dans la ligne supérieure du tableau pour identifier les intervalles.
2
Associer chaque flèche $\nearrow$ à un intervalle de croissance et chaque flèche $\searrow$ à un intervalle de décroissance.
3
Lire les valeurs inscrites aux extrémités des flèches : une valeur en haut à la jonction de deux flèches est un maximum local, une valeur en bas est un minimum local.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

On donne le tableau de variations suivant :

Lire ce tableau.

Étape 1 —

Lire les bornes de l'axe des

x

dans la ligne supérieure du tableau pour identifier les intervalles.

Les bornes sont $-5$ , $2$ et $7$ , délimitant deux intervalles $[-5\,;\,2]$ et $[2\,;\,7]$ .

Étape 2 —

Associer chaque flèche

\nearrow

à un intervalle de croissance et chaque flèche

\searrow

à un intervalle de décroissance.

La flèche $\nearrow$ sur $[-5\,;\,2]$ indique que $f$ est croissante ; la flèche $\searrow$ sur $[2\,;\,7]$ indique que $f$ est décroissante.

Étape 3 —

Lire les valeurs inscrites aux extrémités des flèches : une valeur en haut à la jonction de deux flèches est un maximum local, une valeur en bas est un minimum local.

La valeur $5$ est en haut à $x = 2$ : c'est un maximum local. $f(-5) = -3$ et $f(7) = 1$ sont les valeurs aux extrémités.

$f$ est croissante sur $[-5\,;\,2]$ et décroissante sur $[2\,;\,7]$ . Elle admet un maximum local $f(2) = 5$ .

Application guidée

On donne le tableau de variations suivant :

Lire ce tableau.

Application autonome 1

Un tableau de variations de $h$ sur $[-3\,;\,5]$ indique : $\searrow$ de $-3$ à $0$ (avec $h(-3) = 4$ et $h(0) = -2$ ), puis $\nearrow$ de $0$ à $3$ (avec $h(3) = 7$ ), puis $\searrow$ de $3$ à $5$ (avec $h(5) = 2$ ). Quels sont les extremums de $h$ ?

Application autonome 2

Un tableau de variations de $f$ sur $[-6\,;\,4]$ indique : $\nearrow$ de $-6$ à $-1$ avec $f(-6) = -3$ et $f(-1) = 5$ , puis $\searrow$ de $-1$ à $4$ avec $f(4) = 0$ . Quels sont les extremums de $f$ ?

Application autonome 3

Un tableau de variations de $h$ sur $[0\,;\,10]$ indique : $\searrow$ de $0$ à $3$ avec $h(0) = 8$ et $h(3) = -1$ , $\nearrow$ de $3$ à $7$ avec $h(7) = 6$ , $\searrow$ de $7$ à $10$ avec $h(10) = 2$ . Lire ce tableau.

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