En calculant la variance $\sigma^2 = \frac{\sum n_i (x_i - \bar{x})^2}{N}$ puis $\sigma = \sqrt{\sigma^2}$

Calculer l'écart type d'une série statistique pour mesurer la dispersion des données autour de la moyenne.

L'objectif

Calculer l'écart type d'une série statistique pour mesurer la dispersion des données autour de la moyenne.

Le principe

L'écart type est la racine carrée de la moyenne pondérée des carrés des écarts à la moyenne.

La méthode

1
Calculer la moyenne $\bar{x} = \frac{\sum n_i x_i}{N}$ .
Comment calculer une moyenne pondérée ?Voir
2
Calculer les écarts à la moyenne $x_i - \bar{x}$ et leurs carrés $(x_i - \bar{x})^2$ .
3
Calculer la variance : $\sigma^2 = \frac{\sum n_i (x_i - \bar{x})^2}{N}$ .
4
Calculer l'écart type : $\sigma = \sqrt{\sigma^2}$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Calculer l'écart type de la série : 2, 4, 4, 6 (chaque valeur a un effectif 1).

Étape 1 —

Calculer la moyenne

\bar{x} = \frac{\sum n_i x_i}{N}

$\bar{x} = \frac{2 + 4 + 4 + 6}{4} = \frac{16}{4} = 4$ .

Étape 2 —

Calculer les écarts à la moyenne

x_i - \bar{x}

et leurs carrés

(x_i - \bar{x})^2

Écarts : $2-4=-2$ , $4-4=0$ , $4-4=0$ , $6-4=2$ . Carrés : $4, 0, 0, 4$ .

Étape 3 —

Calculer la variance :

\sigma^2 = \frac{\sum n_i (x_i - \bar{x})^2}{N}

$\sigma^2 = \frac{4 + 0 + 0 + 4}{4} = \frac{8}{4} = 2$ .

Étape 4 —

Calculer l'écart type :

\sigma = \sqrt{\sigma^2}

$\sigma = \sqrt{2} \approx 1{,}41$ .

L'écart type est $\sqrt{2} \approx 1{,}41$ .

Application guidée

Les notes de 5 élèves sont : 10, 12, 14, 12, 12. Calculer l'écart type.

Application autonome 1

Une série a les valeurs 0, 5, 10 avec des effectifs respectifs 2, 3, 2. Calculer l'écart type.

Application autonome 2

Calculer l'écart type de la série : 1, 3, 5, 7, 9 (chaque valeur a un effectif 1).

Application autonome 3

Une série a les valeurs $4, 6, 8$ avec des effectifs respectifs $3, 4, 3$ . Calculer l'écart type.

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