Comment montrer qu'un nombre est irrationnel ? | MetMat

Comment montrer qu'un nombre est irrationnel ?

Démontrer l'irrationalité par l'absurde

Prouver qu'un nombre ne peut pas s'écrire sous forme $\frac{p}{q}$ avec $p, q$ entiers.

L'objectif

Prouver qu'un nombre ne peut pas s'écrire sous forme $\frac{p}{q}$ avec $p, q$ entiers.

Le principe

On suppose le nombre rationnel $\frac{p}{q}$ irréductible, puis on montre que $p$ et $q$ sont tous deux pairs — contradiction avec l'irréductibilité.

La méthode

1
Supposer par l'absurde que le nombre $x$ est rationnel : $x = \frac{p}{q}$ avec $p, q \in \mathbb{Z}$ , $q \neq 0$ , et la fraction irréductible ( $\operatorname{pgcd}(p,q) = 1$ ).
2
Manipuler algébriquement l'égalité pour faire apparaître une propriété de divisibilité ou de parité sur $p$ (ex. : $p^2 = 2q^2$ → $p^2$ pair → $p$ pair).
3
Réinjecter la parité de $p$ dans l'égalité pour montrer que $q$ est aussi pair (ex. : $p = 2k$ → $4k^2 = 2q^2$ → $q^2 = 2k^2$ → $q$ pair).
4
Conclure : $p$ et $q$ sont tous les deux pairs, donc $\operatorname{pgcd}(p,q) \geq 2$ , ce qui contredit l'hypothèse de fraction irréductible → $x$ est irrationnel.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Montrer que $\sqrt{2}$ est irrationnel.

Étape 1 —

Supposer par l'absurde que le nombre

x

est rationnel :

x = \frac{p}{q}

avec

p, q \in \mathbb{Z}

q \neq 0

, et la fraction irréductible (

\operatorname{pgcd}(p,q) = 1

Supposons par l'absurde $\sqrt{2} = \frac{p}{q}$ avec $\operatorname{pgcd}(p, q) = 1$ (fraction irréductible).

Étape 2 —

Manipuler algébriquement l'égalité pour faire apparaître une propriété de divisibilité ou de parité sur

p

(ex. :

p^2 = 2q^2

→

p^2

pair →

p

pair).

En élevant au carré : $2 = \frac{p^2}{q^2}$ , soit $p^2 = 2q^2$ . Donc $p^2$ est pair, ce qui implique que $p$ est pair : on pose $p = 2k$ .

Étape 3 —

Réinjecter la parité de

p

dans l'égalité pour montrer que

q

est aussi pair (ex. :

p = 2k

→

4k^2 = 2q^2

→

q^2 = 2k^2

→

q

pair).

En substituant : $(2k)^2 = 2q^2 \Rightarrow 4k^2 = 2q^2 \Rightarrow q^2 = 2k^2$ . Donc $q^2$ est pair, ce qui implique que $q$ est pair.

Étape 4 —

Conclure :

p

q

sont tous les deux pairs, donc

\operatorname{pgcd}(p,q) \geq 2

, ce qui contredit l'hypothèse de fraction irréductible →

x

est irrationnel.

$p$ et $q$ sont tous les deux pairs → $\operatorname{pgcd}(p,q) \geq 2$ , ce qui contredit $\operatorname{pgcd}(p,q) = 1$ . Donc $\sqrt{2}$ est irrationnel.

$\sqrt{2}$ est irrationnel.

Application guidée

Montrer que $\sqrt{3}$ est irrationnel.

Application autonome 1

Montrer que $\sqrt{5}$ est irrationnel.

Application autonome 2

Montrer que $\sqrt{7}$ est irrationnel.

Application autonome 3

Montrer que $\sqrt{6}$ est irrationnel.

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