Comment montrer qu'un nombre est irrationnel ?

Démontrer l'irrationalité par l'absurde

L'objectif

Prouver qu'un nombre ne peut pas s'écrire sous forme $\frac{p}{q}$ avec $p, q$ entiers.

Le principe

On suppose le nombre rationnel $\frac{p}{q}$ irréductible, puis on montre que $p$ et $q$ sont tous deux pairs — contradiction avec l'irréductibilité.

La méthode

1
Supposer par l'absurde que le nombre $x$ est rationnel : $x = \frac{p}{q}$ avec $p, q \in \mathbb{Z}$ , $q \neq 0$ , et la fraction irréductible ( $\pgcd(p,q) = 1$ ).
2
Manipuler algébriquement l'égalité pour faire apparaître une propriété de divisibilité ou de parité sur $p$ (ex. : $p^2 = 2q^2$ → $p^2$ pair → $p$ pair).
3
Réinjecter la parité de $p$ dans l'égalité pour montrer que $q$ est aussi pair (ex. : $p = 2k$ → $4k^2 = 2q^2$ → $q^2 = 2k^2$ → $q$ pair).
4
Conclure : $p$ et $q$ sont tous les deux pairs, donc $\pgcd(p,q) \geq 2$ , ce qui contredit l'hypothèse de fraction irréductible → $x$ est irrationnel.

Difficulté croissante de 1 à 3

Exercices aujourd'hui0 / 3

Prêt à t'entraîner ?

Génère un exercice personnalisé sur cette méthode et entraîne-toi avec la correction IA.