Reconnaître les irrationnels courants

Reconnaître un nombre irrationnel en le comparant aux cas classiques connus.

L'objectif

Reconnaître un nombre irrationnel en le comparant aux cas classiques connus.

Le principe

Certains nombres ( $\sqrt{2}$ , $\sqrt{3}$ , $\pi$ , $e$ , etc.) sont irrationnels par nature : aucune fraction $p/q$ d'entiers ne peut les représenter exactement.

La méthode

1
Vérifier si le nombre appartient à la liste des irrationnels classiques : $\sqrt{2}$ , $\sqrt{3}$ , $\sqrt{5}$ , $\sqrt{p}$ pour $p$ premier non carré parfait, $\pi$ , $e$ .
2
Si le nombre est une racine carrée $\sqrt{n}$ , vérifier que $n$ n'est pas un carré parfait (sinon $\sqrt{n}$ est entier, donc rationnel).
3
Conclure : si $n$ n'est pas un carré parfait, alors $\sqrt{n}$ est irrationnel ; sinon, $\sqrt{n}$ est un entier naturel, donc rationnel.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Le nombre $\sqrt{7}$ est-il rationnel ou irrationnel ?

Étape 1 —

Vérifier si le nombre appartient à la liste des irrationnels classiques :

\sqrt{2}

\sqrt{3}

\sqrt{5}

\sqrt{p}

pour

p

premier non carré parfait,

\pi

e

$\sqrt{7}$ est une racine carrée : on vérifie si $7$ est un carré parfait. Les carrés parfaits sont $1, 4, 9, 16, \ldots$ — $7$ n'en est pas un.

Étape 2 —

Si le nombre est une racine carrée

\sqrt{n}

, vérifier que

n

n'est pas un carré parfait (sinon

\sqrt{n}

est entier, donc rationnel).

$7$ est un nombre premier (non carré parfait), donc $\sqrt{7}$ fait partie des irrationnels classiques de la forme $\sqrt{p}$ , $p$ premier.

Étape 3 —

Conclure : si

n

n'est pas un carré parfait, alors

\sqrt{n}

est irrationnel ; sinon,

\sqrt{n}

est un entier naturel, donc rationnel.

Conclusion : $\sqrt{7}$ est irrationnel.

$\sqrt{7}$ est irrationnel.

Application guidée

Le nombre $\sqrt{9}$ est-il rationnel ou irrationnel ?

Application autonome 1

Le nombre $2\pi$ est-il rationnel ou irrationnel ?

Application autonome 2

Le nombre $\sqrt{16}$ est-il rationnel ou irrationnel ?

Application autonome 3

Le nombre $\sqrt{50}$ est-il rationnel ou irrationnel ?

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