Comment caractériser l'intervalle $[a-r,\, a+r]$ à l'aide de $|x - a| \leq r$ ? | MetMat

Comment caractériser l'intervalle $[a-r,\, a+r]$ à l'aide de $|x - a| \leq r$ ?

En traduisant la condition $|x - a| \leq r$ en $a - r \leq x \leq a + r$ (de la condition vers l'intervalle)

Convertir une condition de valeur absolue $|x - a| \leq r$ en intervalle $[a-r, a+r]$ .

L'objectif

Convertir une condition de valeur absolue $|x - a| \leq r$ en intervalle $[a-r, a+r]$ .

Le principe

$|x - a| \leq r$ signifie que $x$ est à distance au plus $r$ de $a$ , ce qui équivaut à $a - r \leq x \leq a + r$ .

La méthode

1
Identifier $a$ (le centre) et $r$ (le rayon) dans la condition $|x - a| \leq r$ .
2
Appliquer la définition de la valeur absolue : $|x - a| \leq r \iff -r \leq x - a \leq r$ .
3
Ajouter $a$ à chaque membre : $a - r \leq x \leq a + r$ , ce qui donne l'intervalle $[a-r, a+r]$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Écrire l'ensemble des solutions de $|x - 3| \leq 2$ sous forme d'intervalle.

Étape 1 —

Identifier

a

(le centre) et

r

(le rayon) dans la condition

|x - a| \leq r

On a $a = 3$ et $r = 2$ .

Étape 2 —

Appliquer la définition de la valeur absolue :

|x - a| \leq r \iff -r \leq x - a \leq r

$|x - 3| \leq 2 \iff -2 \leq x - 3 \leq 2$ .

Étape 3 —

Ajouter

a

à chaque membre :

a - r \leq x \leq a + r

, ce qui donne l'intervalle

[a-r, a+r]

On ajoute $3$ partout : $1 \leq x \leq 5$ , soit l'intervalle $[1, 5]$ .

$|x - 3| \leq 2 \iff x \in [1, 5]$

Application guidée

Écrire l'ensemble des solutions de $|x + 1| \leq 4$ sous forme d'intervalle.

Application autonome 1

Écrire l'ensemble des solutions de $|x - 0| \leq 5$ sous forme d'intervalle.

Application autonome 2

Écrire l'ensemble des solutions de $|x - 7| \leq 1$ sous forme d'intervalle.

Application autonome 3

Écrire l'ensemble des solutions de $|x - 2| \leq 3$ sous forme d'intervalle.

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