En décomposant en produit de facteurs premiers, puis en simplifiant les facteurs communs

Simplifier une fraction en décomposant numérateur et dénominateur en produits de facteurs premiers pour identifier les facteurs communs.

L'objectif

Simplifier une fraction en décomposant numérateur et dénominateur en produits de facteurs premiers pour identifier les facteurs communs.

Le principe

Tout entier supérieur à 1 se décompose de manière unique en produit de nombres premiers ; les facteurs communs au numérateur et au dénominateur peuvent être simplifiés.

La méthode

1
Décomposer le numérateur $a$ en produit de facteurs premiers.
2
Décomposer le dénominateur $b$ en produit de facteurs premiers.
3
Identifier les facteurs premiers communs et simplifier : barrer les facteurs identiques au numérateur et au dénominateur.
4
Écrire la fraction irréductible obtenue après simplification.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Rendre irréductible $\frac{60}{84}$ par décomposition en facteurs premiers.

Étape 1 —

Décomposer le numérateur

a

en produit de facteurs premiers.

$60 = 2^2 \times 3 \times 5$ .

Étape 2 —

Décomposer le dénominateur

b

en produit de facteurs premiers.

$84 = 2^2 \times 3 \times 7$ .

Étape 3 —

Identifier les facteurs premiers communs et simplifier : barrer les facteurs identiques au numérateur et au dénominateur.

Les facteurs communs sont $2^2 \times 3 = 12$ : $\frac{60}{84} = \frac{2^2 \times 3 \times 5}{2^2 \times 3 \times 7}$ , on simplifie $2^2$ et $3$ .

Étape 4 —

Écrire la fraction irréductible obtenue après simplification.

$\frac{60}{84} = \frac{5}{7}$ .

$\frac{60}{84} = \frac{5}{7}$

Application guidée

Rendre irréductible $\frac{90}{126}$ par décomposition en facteurs premiers.

Application autonome 1

Rendre irréductible $\frac{72}{120}$ par décomposition en facteurs premiers.

Application autonome 2

Rendre irréductible $\frac{45}{75}$ par décomposition en facteurs premiers.

Application autonome 3

Rendre irréductible $\frac{168}{180}$ par décomposition en facteurs premiers.

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