Comment construire et utiliser le projeté orthogonal d'un point sur une droite ? | MetMat

Comment construire et utiliser le projeté orthogonal d'un point sur une droite ?

Construire le projeté orthogonal d'un point sur une droite

Construire et exploiter le projeté orthogonal d'un point sur une droite pour calculer une distance ou résoudre un problème de géométrie.

L'objectif

Construire et exploiter le projeté orthogonal d'un point sur une droite pour calculer une distance ou résoudre un problème de géométrie.

Le principe

Le projeté orthogonal $H$ de $M$ sur $\Delta$ est le pied de la perpendiculaire abaissée de $M$ sur $\Delta$ ; il est l'unique point de $\Delta$ tel que $MH \perp \Delta$ , et il minimise la distance de $M$ à tout point de $\Delta$ .

La méthode

1
Identifier le point $M$ et la droite $\Delta$ sur lesquels porte la question.
2
Tracer la perpendiculaire à $\Delta$ passant par $M$ (à l'équerre ou par calcul avec les vecteurs directeurs).
3
Nommer $H$ le point d'intersection de cette perpendiculaire avec $\Delta$ : $H$ est le projeté orthogonal de $M$ sur $\Delta$ .
4
Utiliser les propriétés de $H$ : $MH$ est la distance de $M$ à $\Delta$ (la plus courte), et tout calcul sur le triangle $MHA$ (avec $A \in \Delta$ ) peut exploiter l'angle droit en $H$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Dans un triangle $ABC$ rectangle en $C$ , $AB = 10 \,\mathrm{cm}$ , $BC = 6 \,\mathrm{cm}$ . Soit $H$ le projeté orthogonal de $C$ sur $[AB]$ . Calculer $CH$ .

Étape 1 —

Identifier le point

M

et la droite

\Delta

sur lesquels porte la question.

Le point est $C$ et la droite est $(AB)$ . $H$ est le pied de l'altitude issue de $C$ dans le triangle $ABC$ .

Étape 2 —

Tracer la perpendiculaire à

\Delta

passant par

M

(à l'équerre ou par calcul avec les vecteurs directeurs).

On trace la perpendiculaire à $(AB)$ passant par $C$ : son pied est $H$ , donc $CH \perp AB$ .

Étape 3 —

Nommer

H

le point d'intersection de cette perpendiculaire avec

\Delta

H

est le projeté orthogonal de

M

sur

\Delta

Dans le triangle rectangle en $C$ , l'altitude sur l'hypoténuse vérifie $CH^2 = AH \times HB$ . On calcule d'abord $AC$ : $AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{100 - 36} = 8 \,\mathrm{cm}$ .

Étape 4 —

Utiliser les propriétés de

H

MH

est la distance de

M

\Delta

(la plus courte), et tout calcul sur le triangle

MHA

(avec

A \in \Delta

) peut exploiter l'angle droit en

H

Relation altitude-hypoténuse : $CH = \frac{AC \times BC}{AB} = \frac{8 \times 6}{10} = 4{,}8 \,\mathrm{cm}$ .

$CH = 4{,}8 \,\mathrm{cm}$ .

Application guidée

Dans un repère orthonormé, on donne le point $M(1 ; 3)$ et la droite $\Delta$ d'équation $y = 0$ (l'axe des abscisses). Quel est le projeté orthogonal de $M$ sur $\Delta$ ?

Application autonome 1

Dans un triangle isocèle $ABC$ avec $AB = AC = 5 \,\mathrm{cm}$ et $BC = 6 \,\mathrm{cm}$ , $H$ est le projeté orthogonal de $A$ sur $[BC]$ . Calculer $AH$ .

Application autonome 2

Un point $M$ se trouve à $7 \,\mathrm{cm}$ d'une droite $\Delta$ . Son projeté orthogonal sur $\Delta$ est $H$ . Un autre point $A$ de $\Delta$ vérifie $HA = 24 \,\mathrm{cm}$ . Calculer $MA$ .

Application autonome 3

Dans un repère orthonormé, le point $M(2\,;\,5)$ se projette orthogonalement sur la droite $\Delta$ d'équation $x = 0$ . Donner les coordonnées du projeté $H$ et la distance $MH$ .

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