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Comment utiliser la relation cos⁡2α+sin⁡2α=1\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1 ?

En calculant sin⁡α=1−cos⁡2α\sin\alpha = \sqrt{1 - \cos^2\alpha} connaissant cos⁡α\cos\alpha (ou inversement), en tenant compte du signe selon l'intervalle de α\alpha

L'objectif

Calculer sin⁡α\sin\alpha connaissant cos⁡α\cos\alpha (ou inversement) à l'aide de la relation trigonométrique fondamentale.

Le principe

La relation cos⁡2α+sin⁡2α=1\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1 permet d'exprimer l'une des valeurs en fonction de l'autre ; le signe est déterminé par la position de α\alpha dans le cercle trigonométrique.

La méthode
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    À partir de la relation cos⁡2α+sin⁡2α=1\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1, isoler la valeur cherchée : sin⁡2α=1−cos⁡2α\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha (ou cos⁡2α=1−sin⁡2α\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha) et calculer le résultat numérique.
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    Déterminer le signe de la valeur cherchée en utilisant l'intervalle dans lequel se trouve α\alpha (par exemple, sin⁡α≥0\sin\alpha \geq 0 si α∈[0°;180°]\alpha \in [0°; 180°], et cos⁡α≥0\cos\alpha \geq 0 si α∈[−90°;90°]\alpha \in [-90°; 90°]).
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    Conclure en prenant la racine carrée avec le bon signe : sin⁡α=1−cos⁡2α\sin\alpha = \sqrt{1 - \cos^2\alpha} ou sin⁡α=−1−cos⁡2α\sin\alpha = -\sqrt{1 - \cos^2\alpha} selon le cas.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 4

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