En exploitant la monotonie connue de la fonction sur l'intervalle

Comparer $f(a)$ et $f(b)$ sans calcul en utilisant le sens de variation de la fonction sur l'intervalle approprié.

L'objectif

Comparer $f(a)$ et $f(b)$ sans calcul en utilisant le sens de variation de la fonction sur l'intervalle approprié.

Le principe

Sur un intervalle où la fonction est croissante, l'ordre sur les antécédents se conserve ; sur un intervalle décroissant, il s'inverse.

La méthode

1
Rappeler le tableau de variation de la fonction de référence considérée.
Comment lire et interpréter un tableau de variations ?Voir
2
Vérifier que $a$ et $b$ appartiennent tous les deux à un même intervalle de monotonie.
3
Comparer $a$ et $b$ , puis conclure : si $f$ est croissante et $a < b$ , alors $f(a) < f(b)$ ; si $f$ est décroissante et $a < b$ , alors $f(a) > f(b)$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Comparer $f(3)$ et $f(5)$ pour $f(x) = x^2$ .

Étape 1 —

Rappeler le tableau de variation de la fonction de référence considérée.

$f(x) = x^2$ est croissante sur $[0 ; +\infty[$ .

Étape 2 —

Vérifier que

a

b

appartiennent tous les deux à un même intervalle de monotonie.

$3$ et $5$ sont tous les deux dans $[0 ; +\infty[$ .

Étape 3 —

Comparer

a

b

, puis conclure : si

f

est croissante et

a < b

, alors

f(a) < f(b)

; si

f

est décroissante et

a < b

, alors

f(a) > f(b)

$3 < 5$ et $f$ est croissante, donc $f(3) < f(5)$ , c'est-à-dire $9 < 25$ .

$f(3) < f(5)$ .

Application guidée

Comparer $f(-4)$ et $f(-1)$ pour $f(x) = x^2$ .

Application autonome 1

Comparer $f(2)$ et $f(7)$ pour $f(x) = \sqrt{x}$ .

Application autonome 2

Comparer $f(0{,}5)$ et $f(3)$ pour $f(x) = \frac{1}{x}$ ( $x > 0$ ).

Application autonome 3

Comparer $f(-3)$ et $f(2)$ pour $f(x) = x^3$ .

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