En calculant $f(-x)$ et en le comparant à $f(x)$ (pair : $f(-x) = f(x)$ , axe de symétrie $Oy$ ) ou à $-f(x)$ (impair : $f(-x) = -f(x)$ , centre de symétrie $O$ )

Déterminer si une fonction $f$ est paire, impaire ou ni l'une ni l'autre, en calculant $f(-x)$ .

L'objectif

Déterminer si une fonction $f$ est paire, impaire ou ni l'une ni l'autre, en calculant $f(-x)$ .

Le principe

On calcule $f(-x)$ et on le simplifie : si $f(-x) = f(x)$ , la fonction est paire (symétrie par rapport à $Oy$ ) ; si $f(-x) = -f(x)$ , elle est impaire (symétrie par rapport à $O$ ) ; sinon, elle n'est ni paire ni impaire.

La méthode

1
Vérifier que le domaine de définition de $f$ est symétrique par rapport à $0$ (condition nécessaire).
2
Calculer $f(-x)$ en remplaçant $x$ par $-x$ dans l'expression de $f$ , puis simplifier.
3
Comparer $f(-x)$ à $f(x)$ et à $-f(x)$ : conclure sur la parité.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Étudier la parité de $f(x) = x^2 - 3$ .

Étape 1 —

Vérifier que le domaine de définition de

f

est symétrique par rapport à

0

(condition nécessaire).

Le domaine est $\mathbb{R}$ , symétrique par rapport à $0$ .

Étape 2 —

Calculer

f(-x)

en remplaçant

x

par

-x

dans l'expression de

f

, puis simplifier.

On calcule $f(-x) = (-x)^2 - 3 = x^2 - 3$ .

Étape 3 —

Comparer

f(-x)

f(x)

et à

-f(x)

: conclure sur la parité.

$f(-x) = x^2 - 3 = f(x)$ , donc $f$ est paire. Sa courbe est symétrique par rapport à l'axe $Oy$ .

$f$ est paire.

Application guidée

Étudier la parité de $g(x) = x^3 - x$ .

Application autonome 1

Étudier la parité de $h(x) = x^2 + x$ .

Application autonome 2

Étudier la parité de $k(x) = \frac{1}{x^2}$ .

Application autonome 3

Étudier la parité de $p(x) = \frac{1}{x}$ .

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En calculant f(−x)f(-x)f(−x) et en le comparant à f(x)f(x)f(x) (pair : f(−x)=f(x)f(-x) = f(x)f(−x)=f(x), axe de symétrie OyOyOy) ou à −f(x)-f(x)−f(x) (impair : f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x)f(−x)=−f(x), centre de symétrie OOO)

Pour comprendre, fais des exercices !

En calculant $f(-x)$ et en le comparant à $f(x)$ (pair : $f(-x) = f(x)$ , axe de symétrie $Oy$ ) ou à $-f(x)$ (impair : $f(-x) = -f(x)$ , centre de symétrie $O$ )