En identifiant la variable indépendante et la grandeur qui en dépend, en établissant la formule algébrique $y = f(x)$ , et en précisant le domaine de définition pertinent pour la situation

Traduire une situation réelle par une fonction $f$ dont on précise l'expression et le domaine de définition adapté.

L'objectif

Traduire une situation réelle par une fonction $f$ dont on précise l'expression et le domaine de définition adapté.

Le principe

Modéliser c'est choisir la bonne variable, écrire la dépendance sous forme de formule, et restreindre le domaine aux valeurs physiquement admissibles.

La méthode

1
Identifier la variable indépendante $x$ (la grandeur qui varie librement) et la grandeur $y$ qui en dépend.
2
Écrire la formule $y = f(x)$ en utilisant les données de la situation (périmètre, aire, vitesse, coût, etc.).
3
Déterminer le domaine de définition pertinent : imposer les contraintes réelles (positivité, bornes maximales et minimales, valeurs entières si nécessaire).

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Un rectangle a un périmètre fixé de $20$ cm. En notant $x$ la longueur, exprimer l'aire $A$ en fonction de $x$ , et préciser le domaine.

Étape 1 —

Identifier la variable indépendante

x

(la grandeur qui varie librement) et la grandeur

y

qui en dépend.

La variable est la longueur $x$ , et la grandeur dépendante est l'aire $A$ .

Étape 2 —

Écrire la formule

y = f(x)

en utilisant les données de la situation (périmètre, aire, vitesse, coût, etc.).

Le périmètre vaut $2(x + l) = 20$ , donc la largeur est $l = 10 - x$ . On obtient $A = x(10 - x) = 10x - x^2$ .

Étape 3 —

Déterminer le domaine de définition pertinent : imposer les contraintes réelles (positivité, bornes maximales et minimales, valeurs entières si nécessaire).

Les dimensions doivent être positives : $x > 0$ et $10 - x > 0$ , donc $x \in ]0\,;\,10[$ .

$A(x) = 10x - x^2$ , domaine : $]0\,;\,10[$

Application guidée

Un taxi facture $2{,}50$ \text{€} de prise en charge puis $1{,}20$ \text{€} par kilomètre. Modéliser le coût $C$ en fonction de la distance $d$ (en km).

Application autonome 1

Un objet est lancé verticalement. Sa hauteur (en m) à l'instant $t$ (en s) est $h = -5t^2 + 20t$ . Modéliser et préciser le domaine réel.

Application autonome 2

Un cinéma vend ses places $8$ \text{€} l'unité et propose un abonnement annuel de $20$ \text{€} donnant droit à $5$ \text{€} par place. Modéliser le coût $C$ (en \text{€}) pour un spectateur abonné en fonction du nombre $n$ de places achetées.

Application autonome 3

On découpe un carré de côté $10$ cm dans les coins d'une feuille rectangulaire pour former une boîte sans couvercle. On note $x$ la longueur (en cm) du carré découpé. Exprimer le volume $V$ de la boîte en fonction de $x$ , en supposant la feuille initiale carrée de côté $20$ cm.

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En identifiant la variable indépendante et la grandeur qui en dépend, en établissant la formule algébrique y=f(x)y = f(x)y=f(x), et en précisant le domaine de définition pertinent pour la situation

Pour comprendre, fais des exercices !

En identifiant la variable indépendante et la grandeur qui en dépend, en établissant la formule algébrique $y = f(x)$ , et en précisant le domaine de définition pertinent pour la situation