Comment résoudre algébriquement une équation ou inéquation $f(x) = k$ ? | MetMat

Comment résoudre algébriquement une équation ou inéquation $f(x) = k$ ?

En posant l'équation $f(x) = k$ , en isolant $x$ par les opérations inverses adaptées à la nature de $f$ , et en vérifiant les conditions du domaine de définition

Résoudre algébriquement une équation $f(x) = k$ en isolant $x$ dans l'expression de $f$ .

L'objectif

Résoudre algébriquement une équation $f(x) = k$ en isolant $x$ dans l'expression de $f$ .

Le principe

On applique les opérations inverses à celles qui composent $f$ afin d'exprimer $x$ en fonction de $k$ , tout en s'assurant que les solutions appartiennent au domaine de définition.

La méthode

1
Écrire l'équation $f(x) = k$ .
2
Appliquer les opérations inverses successives pour isoler $x$ (exemple : si $f$ contient $+a$ , soustraire $a$ ; si $f$ contient $\times b$ , diviser par $b$ , etc.).
3
Vérifier que les solutions obtenues appartiennent au domaine de définition de $f$ (par exemple $x \geq 0$ pour $\sqrt{x}$ , $x \neq 0$ pour $\frac{1}{x}$ ).
4
Conclure en listant les solutions valides.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Résoudre $f(x) = 7$ avec $f(x) = 2x - 3$ .

Étape 1 —

Écrire l'équation

f(x) = k

On écrit : $2x - 3 = 7$ .

Étape 2 —

Appliquer les opérations inverses successives pour isoler

x

(exemple : si

f

contient

+a

, soustraire

a

; si

f

contient

\times b

, diviser par

b

, etc.).

On ajoute $3$ : $2x = 10$ , puis on divise par $2$ : $x = 5$ .

Étape 3 —

Vérifier que les solutions obtenues appartiennent au domaine de définition de

f

(par exemple

x \geq 0

pour

\sqrt{x}

x \neq 0

pour

\frac{1}{x}

$f$ est définie sur $\mathbb{R}$ , donc $x = 5$ est bien dans le domaine.

Étape 4 —

Conclure en listant les solutions valides.

La solution est $x = 5$ .

$x = 5$

Application guidée

Résoudre $f(x) = 4$ avec $f(x) = \sqrt{x}$ .

Application autonome 1

Résoudre $f(x) = -2$ avec $f(x) = \sqrt{x}$ .

Application autonome 2

Résoudre $f(x) = 3$ avec $f(x) = \frac{1}{x}$ .

Application autonome 3

Résoudre $f(x) = 0$ avec $f(x) = x^2 - 9$ .

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En posant l'équation f(x)=kf(x) = kf(x)=k, en isolant xxx par les opérations inverses adaptées à la nature de fff, et en vérifiant les conditions du domaine de définition

Pour comprendre, fais des exercices !

En posant l'équation $f(x) = k$ , en isolant $x$ par les opérations inverses adaptées à la nature de $f$ , et en vérifiant les conditions du domaine de définition