Comment résoudre un système de deux équations linéaires à deux inconnues ? | MetMat

Comment résoudre un système de deux équations linéaires à deux inconnues ?

Par combinaison (addition) : multiplier les équations par des coefficients appropriés pour éliminer une inconnue par addition membre à membre

Résoudre un système de deux équations linéaires à deux inconnues par la méthode de combinaison.

L'objectif

Résoudre un système de deux équations linéaires à deux inconnues par la méthode de combinaison.

Le principe

On multiplie chaque équation par un coefficient choisi de façon à ce que, lors de l'addition membre à membre, l'une des inconnues disparaisse.

La méthode

1
Choisir l'inconnue à éliminer et déterminer les coefficients multiplicateurs à appliquer à chaque équation pour que les coefficients de cette inconnue deviennent opposés.
2
Multiplier chaque équation par son coefficient respectif, puis additionner membre à membre pour obtenir une équation à une seule inconnue.
3
Résoudre l'équation obtenue, puis calculer la valeur de l'autre inconnue en substituant dans l'une des équations d'origine.
4
Vérifier la solution en substituant les deux valeurs dans chacune des équations du système.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Résoudre le système $\begin{cases} 2x + 3y = 12 \\ 4x - 3y = 6 \end{cases}$ par combinaison.

Étape 1 —

Choisir l'inconnue à éliminer et déterminer les coefficients multiplicateurs à appliquer à chaque équation pour que les coefficients de cette inconnue deviennent opposés.

Les coefficients de $y$ sont $3$ et $-3$ : ils sont déjà opposés, donc on peut additionner directement.

Étape 2 —

Multiplier chaque équation par son coefficient respectif, puis additionner membre à membre pour obtenir une équation à une seule inconnue.

Addition membre à membre : $(2x + 3y) + (4x - 3y) = 12 + 6$ , soit $6x = 18$ , donc $x = 3$ .

Étape 3 —

Résoudre l'équation obtenue, puis calculer la valeur de l'autre inconnue en substituant dans l'une des équations d'origine.

On substitue $x = 3$ dans la première équation : $2 \times 3 + 3y = 12$ , donc $3y = 6$ , d'où $y = 2$ .

Étape 4 —

Vérifier la solution en substituant les deux valeurs dans chacune des équations du système.

Vérification : $2 \times 3 + 3 \times 2 = 12$ ✓ et $4 \times 3 - 3 \times 2 = 6$ ✓.

La solution est $x = 3$ et $y = 2$ .

Application guidée

Résoudre le système $\begin{cases} 3x + 2y = 7 \\ x - y = 1 \end{cases}$ par combinaison.

Application autonome 1

Résoudre le système $\begin{cases} 2x + 5y = 1 \\ 3x - 2y = 8 \end{cases}$ par combinaison.

Application autonome 2

Résoudre le système $\begin{cases} 4x + 3y = 18 \\ 2x - 3y = 0 \end{cases}$ par combinaison.

Application autonome 3

Résoudre le système $\begin{cases} 5x + 2y = 16 \\ 3x + 4y = 18 \end{cases}$ par combinaison.

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