Comment résoudre un système de deux équations linéaires à deux inconnues ? | MetMat

Comment résoudre un système de deux équations linéaires à deux inconnues ?

Par substitution : exprimer une inconnue en fonction de l'autre dans une équation, puis remplacer dans la seconde pour obtenir une équation à une inconnue

Résoudre un système de deux équations linéaires à deux inconnues par la méthode de substitution.

L'objectif

Résoudre un système de deux équations linéaires à deux inconnues par la méthode de substitution.

Le principe

On isole une inconnue dans l'une des équations, puis on la remplace dans l'autre équation pour se ramener à une seule équation à une inconnue.

La méthode

1
Choisir l'équation la plus simple et exprimer l'une des inconnues (par exemple $y$ ) en fonction de l'autre ( $x$ ).
2
Substituer cette expression dans la deuxième équation pour obtenir une équation à une seule inconnue, puis la résoudre.
3
Calculer la valeur de la seconde inconnue en remplaçant la valeur trouvée dans l'expression obtenue à l'étape 1.
4
Vérifier la solution en substituant les deux valeurs dans chacune des équations du système.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Résoudre le système $\begin{cases} y = 2x + 1 \\ 3x + y = 11 \end{cases}$ .

Étape 1 —

Choisir l'équation la plus simple et exprimer l'une des inconnues (par exemple

y

) en fonction de l'autre (

x

La première équation donne directement $y = 2x + 1$ .

Étape 2 —

Substituer cette expression dans la deuxième équation pour obtenir une équation à une seule inconnue, puis la résoudre.

On substitue dans la deuxième : $3x + (2x + 1) = 11$ , soit $5x + 1 = 11$ , donc $5x = 10$ , d'où $x = 2$ .

Étape 3 —

Calculer la valeur de la seconde inconnue en remplaçant la valeur trouvée dans l'expression obtenue à l'étape 1.

On calcule $y$ : $y = 2 \times 2 + 1 = 5$ .

Étape 4 —

Vérifier la solution en substituant les deux valeurs dans chacune des équations du système.

Vérification : $3 \times 2 + 5 = 11$ ✓ et $y = 2 \times 2 + 1 = 5$ ✓.

La solution est $x = 2$ et $y = 5$ .

Application guidée

Résoudre le système $\begin{cases} x + y = 7 \\ y = 3x - 1 \end{cases}$ .

Application autonome 1

Résoudre le système $\begin{cases} 2x - y = 3 \\ x + 2y = 9 \end{cases}$ .

Application autonome 2

Résoudre le système $\begin{cases} x = 5 - y \\ 2x + 3y = 13 \end{cases}$ par substitution.

Application autonome 3

Résoudre le système $\begin{cases} 3x - y = 7 \\ 2x + 3y = 1 \end{cases}$ par substitution.

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