En comparant leurs coefficients directeurs : si $m_1 = m_2$ , les droites sont parallèles (ou confondues) ; si $m_1 \neq m_2$ , elles sont sécantes

Déterminer si deux droites sont parallèles, confondues ou sécantes à partir de leurs équations réduites.

L'objectif

Déterminer si deux droites sont parallèles, confondues ou sécantes à partir de leurs équations réduites.

Le principe

Deux droites de coefficients directeurs égaux sont parallèles ou confondues ; des coefficients directeurs différents impliquent que les droites se croisent en exactement un point.

La méthode

1
Mettre les deux droites sous forme réduite $y = mx + p$ si ce n'est pas déjà le cas.
2
Comparer les coefficients directeurs $m_1$ et $m_2$ : si $m_1 \neq m_2$ , les droites sont sécantes ; si $m_1 = m_2$ , passer à l'étape suivante.
3
Si $m_1 = m_2$ , comparer les ordonnées à l'origine $p_1$ et $p_2$ : si $p_1 = p_2$ , les droites sont confondues ; si $p_1 \neq p_2$ , les droites sont strictement parallèles.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Déterminer la position relative des droites $d_1 : y = 2x + 1$ et $d_2 : y = 2x - 3$ .

Étape 1 —

Mettre les deux droites sous forme réduite

y = mx + p

si ce n'est pas déjà le cas.

Les deux droites sont déjà sous forme réduite.

Étape 2 —

Comparer les coefficients directeurs

m_1

m_2

: si

m_1 \neq m_2

, les droites sont sécantes ; si

m_1 = m_2

, passer à l'étape suivante.

$m_1 = 2$ et $m_2 = 2$ : les coefficients directeurs sont égaux, donc on passe à l'étape suivante.

Étape 3 —

m_1 = m_2

, comparer les ordonnées à l'origine

p_1

p_2

: si

p_1 = p_2

, les droites sont confondues ; si

p_1 \neq p_2

, les droites sont strictement parallèles.

$p_1 = 1$ et $p_2 = -3$ : les ordonnées à l'origine sont différentes, donc les droites sont strictement parallèles.

$d_1$ et $d_2$ sont parallèles (non confondues).

Application guidée

Déterminer la position relative des droites $d_1 : y = 3x - 2$ et $d_2 : y = -x + 4$ .

Application autonome 1

Déterminer la position relative des droites $d_1 : 2y = 4x + 6$ et $d_2 : y = 2x + 3$ .

Application autonome 2

Déterminer la position relative des droites $d_1 : y = \frac{1}{2}x + 2$ et $d_2 : y = \frac{1}{3}x + 2$ .

Application autonome 3

Déterminer la position relative des droites $d_1 : 6x - 3y - 9 = 0$ et $d_2 : y = 2x - 1$ .

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En comparant leurs coefficients directeurs : si m1=m2m_1 = m_2m1​=m2​, les droites sont parallèles (ou confondues) ; si m1≠m2m_1 \neq m_2m1​=m2​, elles sont sécantes

Pour comprendre, fais des exercices !

En comparant leurs coefficients directeurs : si $m_1 = m_2$ , les droites sont parallèles (ou confondues) ; si $m_1 \neq m_2$ , elles sont sécantes