Comparer deux quantités par leur différence

Déterminer laquelle de deux quantités $A$ et $B$ est la plus grande en calculant $A - B$ .

L'objectif

Déterminer laquelle de deux quantités $A$ et $B$ est la plus grande en calculant $A - B$ .

Le principe

Le signe de $A - B$ indique directement l'ordre entre $A$ et $B$ : positif signifie $A > B$ , nul signifie $A = B$ , négatif signifie $A < B$ .

La méthode

1
Calculer la différence $A - B$ en développant et réduisant l'expression.
2
Étudier le signe de la différence obtenue (factoriser si nécessaire pour déterminer le signe).
3
Conclure : si $A - B > 0$ alors $A > B$ ; si $A - B = 0$ alors $A = B$ ; si $A - B < 0$ alors $A < B$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Comparer $A = (x+2)^2$ et $B = x^2 + 4$ pour tout réel $x$ .

Étape 1 —

Calculer la différence

A - B

en développant et réduisant l'expression.

$A - B = (x+2)^2 - (x^2 + 4) = x^2 + 4x + 4 - x^2 - 4 = 4x$ .

Étape 2 —

Étudier le signe de la différence obtenue (factoriser si nécessaire pour déterminer le signe).

Le signe de $4x$ dépend de $x$ : $4x > 0$ si $x > 0$ , $4x = 0$ si $x = 0$ , $4x < 0$ si $x < 0$ .

Étape 3 —

Conclure : si

A - B > 0

alors

A > B

; si

A - B = 0

alors

A = B

; si

A - B < 0

alors

A < B

Donc $A > B$ si $x > 0$ , $A = B$ si $x = 0$ , et $A < B$ si $x < 0$ .

$A > B$ si $x > 0$ , $A = B$ si $x = 0$ , $A < B$ si $x < 0$

Application guidée

Comparer $\frac{3}{4}$ et $\frac{5}{7}$ .

Application autonome 1

Comparer $n^2 + n$ et $n^2 + 1$ pour $n$ entier naturel.

Application autonome 2

Comparer $2x + 5$ et $3x + 2$ selon les valeurs de $x$ .

Application autonome 3

Comparer $A = (x-1)^2 + 3$ et $B = x^2 - 2x + 5$ pour tout réel $x$ .

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