Comment développer ou factoriser une expression avec les identités remarquables ? | MetMat

Comment développer ou factoriser une expression avec les identités remarquables ?

En reconnaissant dans une expression développée la forme d'une identité remarquable et en factorisant

Factoriser une expression développée en reconnaissant qu'elle est le résultat d'une identité remarquable.

L'objectif

Factoriser une expression développée en reconnaissant qu'elle est le résultat d'une identité remarquable.

Le principe

Repérer dans l'expression deux termes qui sont des carrés parfaits et un terme intermédiaire pour identifier l'identité à appliquer en sens inverse.

La méthode

1
Identifier les termes candidats à être $a^2$ et $b^2$ (chercher des carrés parfaits ou des carrés de termes algébriques).
2
Vérifier si le terme du milieu vaut $2ab$ (pour les carrés) ou si l'expression est de la forme $a^2 - b^2$ (différence de carrés sans terme intermédiaire).
3
Écrire la forme factorisée : $(a+b)^2$ , $(a-b)^2$ ou $(a+b)(a-b)$ selon l'identité reconnue.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Factoriser $x^2 + 8x + 16$ .

Étape 1 —

Identifier les termes candidats à être

a^2

b^2

(chercher des carrés parfaits ou des carrés de termes algébriques).

On identifie $x^2 = x^2$ et $16 = 4^2$ comme candidats à $a^2$ et $b^2$ .

Étape 2 —

Vérifier si le terme du milieu vaut

2ab

(pour les carrés) ou si l'expression est de la forme

a^2 - b^2

(différence de carrés sans terme intermédiaire).

On vérifie le terme du milieu : $2 \times x \times 4 = 8x$ ✓. C'est bien un carré d'une somme.

Étape 3 —

Écrire la forme factorisée :

(a+b)^2

(a-b)^2

(a+b)(a-b)

selon l'identité reconnue.

$x^2 + 8x + 16 = (x+4)^2$ .

$(x+4)^2$

Application guidée

Factoriser $9x^2 - 6x + 1$ .

Application autonome 1

Factoriser $4x^2 - 25$ .

Application autonome 2

Factoriser $x^2 - 10x + 25$ .

Application autonome 3

Factoriser $16 - x^2$ .

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