Comment développer ou factoriser une expression avec les identités remarquables ? | MetMat

Comment développer ou factoriser une expression avec les identités remarquables ?

En reconnaissant la forme et en appliquant dans le sens développement

Développer une expression en reconnaissant qu'elle est de la forme $(a+b)^2$ , $(a-b)^2$ ou $(a+b)(a-b)$ .

L'objectif

Développer une expression en reconnaissant qu'elle est de la forme $(a+b)^2$ , $(a-b)^2$ ou $(a+b)(a-b)$ .

Le principe

Les identités remarquables $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ , $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$ et $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$ permettent de développer sans calcul intermédiaire.

La méthode

1
Identifier les termes $a$ et $b$ dans l'expression factorisée et déterminer à quelle identité elle correspond : carré d'une somme, carré d'une différence ou produit de la somme et de la différence.
2
Appliquer la formule correspondante en remplaçant $a$ et $b$ par les expressions identifiées.
3
Calculer chaque terme ( $a^2$ , $2ab$ , $b^2$ ) et simplifier l'expression développée obtenue.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Développer $(x+5)^2$ .

Étape 1 —

Identifier les termes

a

b

dans l'expression factorisée et déterminer à quelle identité elle correspond : carré d'une somme, carré d'une différence ou produit de la somme et de la différence.

On reconnaît la forme $(a+b)^2$ avec $a = x$ et $b = 5$ .

Étape 2 —

Appliquer la formule correspondante en remplaçant

a

b

par les expressions identifiées.

On applique $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ : $(x+5)^2 = x^2 + 2 \times x \times 5 + 5^2$ .

Étape 3 —

Calculer chaque terme (

a^2

2ab

b^2

) et simplifier l'expression développée obtenue.

On calcule chaque terme : $x^2 + 10x + 25$ .

$x^2 + 10x + 25$

Application guidée

Développer $(3x-2)^2$ .

Application autonome 1

Développer $(x+4)(x-4)$ .

Application autonome 2

Développer $(2x+3y)^2$ .

Application autonome 3

Développer $(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)$ .

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