En utilisant $\sqrt{a^2} = |a|$ pour simplifier les expressions du type $\sqrt{(\ldots)^2}$

Simplifier $\sqrt{A^2}$ en déterminant si $A$ est positif ou négatif pour lever la valeur absolue.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Simplifier $\sqrt{(x-3)^2}$ sachant que $x \geq 3$ .

L'objectif

Simplifier $\sqrt{A^2}$ en déterminant si $A$ est positif ou négatif pour lever la valeur absolue.

Le principe

La racine carrée étant toujours positive, $\sqrt{a^2} = |a|$ , ce qui vaut $a$ si $a \geq 0$ ou $-a$ si $a < 0$ .

La méthode

1
Reconnaître que l'expression sous la racine est un carré parfait de la forme $A^2$ .
2
Appliquer $\sqrt{A^2} = |A|$ , puis étudier le signe de $A$ selon le contexte (hypothèse, valeur donnée, ou contrainte naturelle).
3
Lever la valeur absolue : écrire $A$ si $A \geq 0$ , ou $-A$ si $A < 0$ , pour obtenir l'expression simplifiée.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Simplifier $\sqrt{(x-3)^2}$ sachant que $x \geq 3$ .

Étape 1 —

Reconnaître que l'expression sous la racine est un carré parfait de la forme

A^2

L'expression sous la racine est $(x-3)^2$ , de la forme $A^2$ avec $A = x-3$ .

Étape 2 —

Appliquer

\sqrt{A^2} = |A|

, puis étudier le signe de

A

selon le contexte (hypothèse, valeur donnée, ou contrainte naturelle).

$\sqrt{(x-3)^2} = |x-3|$ . Comme $x \geq 3$ , on a $x - 3 \geq 0$ .

Étape 3 —

Lever la valeur absolue : écrire

A

A \geq 0

, ou

-A

A < 0

, pour obtenir l'expression simplifiée.

Donc $|x-3| = x-3$ .

$x - 3$

Application guidée

Simplifier $\sqrt{(2-x)^2}$ sachant que $x > 2$ .

Application autonome 1

Simplifier $\sqrt{x^2 + 6x + 9}$ .

Application autonome 2

Simplifier $\sqrt{4a^2}$ sachant que $a \leq 0$ .

Application autonome 3

Simplifier $\sqrt{(x^2+1)^2}$ .

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