Comment étudier une fonction polynôme du second degré avec la dérivation ? | MetMat

Comment étudier une fonction polynôme du second degré avec la dérivation ?

En dérivant et en déterminant variations, extremum, allure

Étudier complètement un polynôme du second degré par la dérivation.

L'objectif

Étudier complètement un polynôme du second degré par la dérivation.

Le principe

Pour $f(x) = ax^2 + bx + c$ , on a $f'(x) = 2ax + b$ qui s’annule en $x = -\dfrac{b}{2a}$ , sommet de la parabole.

La méthode

1
Je calcule $f'(x) = 2ax + b$ et je résous $f'(x) = 0$ : $x_S = -\dfrac{b}{2a}$ .
2
J’étudie le signe de $f'$ : si $a > 0$ , $f' < 0$ avant $x_S$ et $f' > 0$ après ; si $a < 0$ , c’est l’inverse.
3
J’en déduis les variations : si $a > 0$ , $f$ décroissante puis croissante (minimum) ; si $a < 0$ , croissante puis décroissante (maximum).
4
Je calcule $f(x_S)$ (valeur de l’extremum) et je décris l’allure : parabole tournée vers le haut si $a > 0$ , vers le bas si $a < 0$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Étudier les variations et l’extremum de $f(x) = 2x^2 - 8x + 3$ .

Étape 1 —

Je calcule

f'(x) = 2ax + b

et je résous

f'(x) = 0

x_S = -\dfrac{b}{2a}

$f'(x) = 4x - 8$ . $f'(x) = 0 \iff x = 2$ .

Étape 2 —

J’étudie le signe de

f'

: si

a > 0

f' < 0

avant

x_S

f' > 0

après ; si

a < 0

, c’est l’inverse.

$a = 2 > 0$ donc $f'(x) < 0$ pour $x < 2$ et $f'(x) > 0$ pour $x > 2$ .

Étape 3 —

J’en déduis les variations : si

a > 0

f

décroissante puis croissante (minimum) ; si

a < 0

, croissante puis décroissante (maximum).

$f$ est décroissante sur $]-\infty\,;2]$ et croissante sur $[2\,;+\infty[$ : minimum en $x = 2$ .

Étape 4 —

Je calcule

f(x_S)

(valeur de l’extremum) et je décris l’allure : parabole tournée vers le haut si

a > 0

, vers le bas si

a < 0

$f(2) = 8 - 16 + 3 = -5$ . Parabole tournée vers le haut, sommet $(2\,;-5)$ .

$f$ admet un minimum $-5$ en $x = 2$ . Parabole tournée vers le haut.

Application guidée

Étudier les variations et l’extremum de $f(x) = -3x^2 + 12x - 7$ .

Application autonome 1

Étudier les variations et l’extremum de $f(x) = x^2 + 6x + 10$ .

Application autonome 2

Étudier les variations et l’extremum de $f(x) = -\dfrac{1}{2}x^2 + 3x - 1$ .

Application autonome 3

Étudier les variations et l'extremum de $f(x) = 4x^2 - 16x + 9$ .

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