En étudiant le signe de $f(x) - g(x)$

Déterminer quelle courbe est au-dessus de l’autre sur un intervalle donné.

L'objectif

Déterminer quelle courbe est au-dessus de l’autre sur un intervalle donné.

Le principe

Si $f(x) - g(x) \geq 0$ sur $I$ , alors $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de $\mathcal{C}_g$ sur $I$ .

La méthode

1
Je pose $d(x) = f(x) - g(x)$ .
2
J’étudie le signe de $d(x)$ (en résolvant $d(x) = 0$ et/ou en étudiant les variations de $d$ ).
3
J’en déduis les intervalles où $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de $\mathcal{C}_g$ ( $d(x) \geq 0$ ) et inversement ( $d(x) \leq 0$ ).
4
J’identifie les éventuels points d’intersection ( $d(x) = 0$ ).

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Exercice d'exemple

Étudier la position relative des courbes de $f(x) = x^2$ et $g(x) = x$ sur $\mathbb{R}$ .

Étape 1 —

Je pose

d(x) = f(x) - g(x)

$d(x) = x^2 - x = x(x - 1)$ .

Étape 2 —

J’étudie le signe de

d(x)

(en résolvant

d(x) = 0

et/ou en étudiant les variations de

d

$d(x) = 0 \iff x = 0$ ou $x = 1$ . $d(x) > 0$ sur $]-\infty\,;0[ \cup ]1\,;+\infty[$ et $d(x) < 0$ sur $]0\,;1[$ .

Étape 3 —

J’en déduis les intervalles où

\mathcal{C}_f

est au-dessus de

\mathcal{C}_g

(

d(x) \geq 0

) et inversement (

d(x) \leq 0

$\mathcal{C}_f$ est au-dessus de $\mathcal{C}_g$ sur $]-\infty\,;0]$ et $[1\,;+\infty[$ , et en dessous sur $[0\,;1]$ .

Étape 4 —

J’identifie les éventuels points d’intersection (

d(x) = 0

Les courbes se coupent en $(0\,;0)$ et $(1\,;1)$ .

$\mathcal{C}_f$ est au-dessus de $\mathcal{C}_g$ pour $x \leq 0$ et $x \geq 1$ , en dessous pour $0 \leq x \leq 1$ .

Application guidée

Étudier la position relative de $f(x) = x^3$ et $g(x) = x$ sur $[0\,;+\infty[$ .

Application autonome 1

Étudier la position relative de $f(x) = x^2 + 1$ et $g(x) = 2x$ sur $\mathbb{R}$ .

Application autonome 2

Étudier la position relative des courbes de $f(x) = x^3$ et $g(x) = 3x - 2$ sur $\mathbb{R}$ .

Application autonome 3

Étudier la position relative des courbes de $f(x) = \dfrac{1}{x}$ et $g(x) = x$ sur $]0\,;+\infty[$ .

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